444 
Kap. IX. Theorie der Raumkurven und Flächen 
Wenn wir a t x + a 2 y -\-a 3 z-\-a i für F in die Gleichungen (11) 
und (12) von Nr. 266 einsetzen und cp, x, f wie in (1) mit 
x, y, z bezeichnen, ergeben sich noch die beiden Bedingungen 
für eine Berührung in mindestens zweiter Ordnung: 
(4) a v x -f a 2 y + a z z' = 0, a v v" + a 2 y' + a 5 z" — 0. 
Sie bestimmen die Verhältnisse der drei Konstanten a x , a 2 , a z , 
sobald nicht alle drei Größen 
(5) 
gleich Null sind, und (3) gibt alsdann noch die Verhältnisse 
von a i zu a 1} a 2 , a s . Elimination von a x , a 2 , a 3 , a 4 aus (2), 
(3), (4) liefert die Gleichung der oskulierenden Ebene in den 
laufenden Koordinaten j, t), § in der Form: 
l — x \)-y i-z 
x y z = 0. 
(6) 
Nach (9) in Nr. 264 ist die Normale dieser Ebene zur Bi- 
normale der Kurve parallel und die Ebene folglich die 
Schmiegungsebene. 
Im allgemeinen wird sie die Kurve nicht in noch höherer 
als zweiter Ordnung berühren, denn es müßte sonst noch 
mindestens die Bedingung (13) in Nr. 266 erfüllt sein, die 
hier so lauten würde: 
(7) 
rrf , rrf . fff f\ 
(1±X -f- Q^y “f“ #3# = 0. 
Es gibt nur dann endliche und nicht sämtlich verschwindende 
Werte von a x , a 2 , a s , die den drei Gleichungen (4) und (7) 
genügen, wenn ihre Determinante gleich Null ist. Indem wir 
noch daran erinnern, daß die Werte (5) für einen regulären 
Kurvenpunkt nach Nr. 261 nicht sämtlich gleich Null sind, 
kommen wir zu dem 
Satz 4: Ist der zu einem bestimmten Werte t gehörige 
Punkt einer Kurve 
nicht singulär und haben cp, x, il> in einer Umgebung von t be 
stimmte endliche Ableitungen bis zur dritten Ordnung, so geht 
268]