§ 3. Krümmung einer Raumkurve 
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von allen Ebenen, die diesen Punkt enthalten, die Schmiegungs 
ebene dort eine Berührung von höchster Ordnung mit der Kurve 
ein. Die Ordnung ist im allgemeinen gleich zwei; sie ist nur 
dann größer als zwei, wenn die Determinante 
x y S 
y 
z 
an der betrachteten Stelle verschwindet. 
269. Die Schmiegungsebene als Grenzlage. Ferner 
gilt der 
Satz 5: Wenn der zu t gehörige Punkt M einer Kurve 
x = <p(f)> V — %(ß), z — i>(f) 
nicht singulär ist und cp, %, ip in einer Umgebung von t bestimmte 
endliche Ableitungen bis zur dritten Ordnung haben, ist die 
Schmiegungsebene von M die Grenzlage der Ebene durch die 
Tangente von M und einen Kurvenpunkt M x in der Umgebung 
von M für den Fall, wo M x auf der Kurve nach M strebt. 
Zum Beweise nehmen wir an, der Punkt M 1 habe Koor 
dinaten x x , y x , z x , die zu dem Werte t + h gehören. Eine 
Ebene durch M, etwa die Ebene 
«i (5 — x) + a 2 (b — y) + « 3 (a - *) =* °> 
enthält die Tangente von M, wenn 
a x x + a % y -f a 3 z' = 0 
ist, und geht durch M x , wenn 
a x {x x — x) + a 2 (y x — y) + a 3 (z x — z) = 0 
ist, so daß ihre Gleichung durch Determinantenbildung in der 
Form: 
l — x i) — y l — z 
X y z 
Xx — X y x —y z x -z 
= 0 
hervorgeht. Hierbei ist nach Satz 19 von Nr. 112: 
x x — x = cp(t + h) — cp(t) = hcp'(t) -f \h*cp"(t + 6 x h), 
worin 6 X einen positiven echten Bruch bedeutet. Entsprechende 
Werte gehen für y x — y und z x — z hervor. Subtrahieren wir 
[»68, »69