448 Kap. IX. Theorie der Raumkurven und Flächen 
Er hat, wie wir sehen werden, für lim zls = 0 einen Grenz 
wert dt: ds, den man die Torsion der Raumkurve an der 
Stelle M nennt. 
Zum Nachweise des Grenzwertes verfahren wir wie in 
Nr. 260. Es ist: 
Ax Ax Sehne M S M,' As 
As Sehne M,M S ' Sehne MM' ‘ Sehne MM' 
An die Stelle von <?, cc, ß, y in Nr. 260 treten hier r, X, ( u, v, 
während sonst alles beim alten bleibt, so daß sich entsprechend 
(2) in Nr. 260 für die Torsion der Wert 
dx |/i'* p'* -}- v 
(i) 
ds pV* _|_ y'* _|_ z 
ergibt, sobald x, y, z nebst den Ableitungen x, y, z nach 
der Hilfsveränderlichen t und überdies X, g, v nebst den 
Ableitungen X', g, v nach t für den Punkt M stetig sind. 
Dies ist nach (9) in Nr. 264 der Fall, wenn M nicht singu 
lär ist und die Ableitungen von x, y, z nach t bis zur dritten 
Ordnung an der betrachteten Stelle stetig sind. Die Quadrat 
wurzel im Nenner von (1) ist positiv, dagegen die im Zähler 
positiv oder negativ, je nachdem die positive Richtung der 
Indikatrix der Binormalen in M 2 mit der Fortschreitungsrich- 
tung von M 2 nach M 2 ' übereinstimmt oder nicht. Wie man 
dies Vorzeichen analytisch bestimmt, wird jedoch erst in Nr. 273 
erörtert werden. 
Der reziproke Wert der Torsion heißt der Torsionsradius; 
wir wollen ihn mit T bezeichnen. Ist die unabhängige Ver 
änderliche insbesondere die Bogenlänge s der Raumkurve, so 
wird x 2 -j- y 2 -f z 2 = 1 nach (4) in Nr. 257, so daß sich für 
die Torsion ergibt: 
1 dx 
T = ds 
(2) 
Sie ist als eine Ableitung dt: ds nach s dargestellt. Das Diffe 
rential dt heißt der Torsionswinkel; er ist zugleich das Bogen- 
elenient der sphärischen Indikatrix der Bimrmalen. 
Wenn wir die Differentiation nach der Bogenlänge s 
durch Akzente bezeichnen, wird der Kosinus X nach (10) in 
Nr. 264 gleich R(p'z" — z'y"), also: 
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