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Kap. IX. Theorie der liaumkurven und Flächen 
Ax + By + Ce + D — 0 
mit konstanten Koeffizienten A, B, C, T) besteht, von denen 
A, B, C nicht sämtlich gleich Null sind. 
Diese Determinante wird uns im dritten Bande abermals 
begegnen. Dort soll ein rein analytischer Beweis für den Satz 7 
gebracht werden. 
276. Die Schmiegungskugel. Unter allen Kugeln, die 
durch einen Punkt 31 oder (x, y, z) einer Kurve gehen, wird 
es eine geben, die mit der Kurve in 31 eine Berührung von 
höchster Ordnung eingeht. Da die allgemeine Gleichung einer 
Kugel vier willkürliche Konstanten enthält, ist nach Nr. 267 zu 
erwarten, daß die höchste Ordnung der Berührung die dritte sein 
wird. Dies ist, wie wir sogleich sehen werden, in der Tat der 
Fall. Die oskulierende Kugel heißt die Schmiegungskugel des 
Punktes 31 der Raumkurve, ihr Radius der Schmiegungsradius. 
Eine Kugel hat die Gleichung: 
wenn x, y, z die Koordinaten ihrer Mitte sind, ihr Radius 
ist und £, t), i laufende Koordinaten bedeuten. Nach dem in 
Nr. 266 gegebenen Verfahren setzen wir als erste Bedingung an: 
(1) F = (x — x) 2 -f (y — y) 2 -f {z — z) 2 — 9t 2 = 0. 
Die Gleichungen (11), (12) und (13) jener Nummer geben die 
drei übrigen Bedingungen für eine Berührung in mindestens 
dritter Ordnung: 
(2) {x—x)x + (y-y)y' -f (*—*)/ = 0, 
{x—x)x" + (y—y)y" + {z—z)z" + X 2 + y 2 + z 2 = 0, 
(x—x)x"+ (jy—y)y"'+ (z—z)z"'+ 3(s'x" + y’y"+ zz") = 0. 
Benutzen wir die Bogenlänge s der Kurve als unabhängige Ver 
änderliche, so ist x' 2 -}- y 2 + z 2 = 1, also xx" -f- y'y" + //'= 0, 
so daß die beiden letzten Gleichungen die Form annehmen: 
(3) I ~ x)x" + (y — y)y" +(e — z)z" = - 1, 
i (x — x)x" + (y — y)y" + {z — z)z" = 0. 
Sobald für den betrachteten Kurvenpunkt 31 die Torsion 1 : T 
nicht verschwindet, ist die Determinante der drei in x — x,y—y, 
z — z linearen Gleichungen (2) und (3) nach (6) in Nr. 271 
von Null verschieden und zwar gleich — 1 : TB 2 , so daß sich 
275, 276]