§ 5. Einhüllende Flächen 
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Ist (x, y, z) ein gemeinsamer Punkt von allen dreien, so 
genügen seine Koordinaten nach. Satz 9 von Nr. 277 für den 
Fall, daß h und Je zur Grenze Null streben, den drei Glei 
chungen: 
(2) F(x,y,z,u) = 0, 
d F (x, y, z, a) 0 
da U 
d 2 F(x,y,z,a) 0 
da ! 
falls die Funktion F von a nebst ihren ersten drei Ableitungen 
nach a bestimmte endliche Werte hat. Wir haben also drei 
Bedingungen (2) für den GrenzpunJet, d. h. für den Schnitt 
punkt dreier benachbarter Flächen der Schar für den Fall er 
halten, wo die drei Flächen immer näher aneinander rücken. 
Gibt es einen Punkt (x, y, z), der den drei Gleichungen (2) 
für den gewählten Wert yon a genügt, so liegt er auf der 
Charakteristik der zugehörigen Fläche (a), da die beiden ersten 
Gleichungen (2) mit den Gleichungen (1) und (2) der vorigen 
Nummer übereinstimmen. Weil nun die Charakteristik der 
Fläche (a) die Grenzlage ihrer Schnittlinie mit der Fläche 
(a -f- h) ist und weil die Fläche (a + h) mit der Fläche (a -f Je) 
beim Grenzübergange ebenfalls eine Charakteristik gemein hat, 
ist der Grenzpunkt auch die Grenzlage eines SchnittpunJetes 
zweier benachbarter CJiaraJderistiJeen. 
Wenn die drei Gleichungen (2) für beliebige Werte von a 
nach x, y, z auflösbar sind, werden x, y, z Funktionen von a. 
Fassen wir dann a als Hilfsveränderliche auf, so ist eine ana 
lytische Darstellung einer Kurve gewonnen, nämlich des Ortes 
aller Grenzpunkte aller Charakteristiken. Diese Kurve heißt 
die Gratlinie oder RiicJcJeehrJcurve der Einhüllenden, weil die 
Einhüllende, der ja die Gratlinie angehört, längs ihrer eine 
scharfe Kante aufweist, was wir in der Folge wenigstens in 
einem besonderen Falle (in Nr. 283) zeigen wollen. 
280. Berührung zwischen der G-ratlinie und den 
Charakteristiken. Es sei M oder (x,y,z) ein Grenzpunkt, der 
auf der Charakteristik einer bestimmten Fläche F(x, y, z,u) — 0 
der angenommenen Flächenschar liegt. 
Diese Charakteristik selbst hat die beiden Gleichungen 
F= 0 und F a = 0. Nach (2) in Nr. 254 ist daher die Tangente 
der Charakteristik in M in den laufenden Koordinaten £, p, § 
gegeben durch die beiden Gleichungen: 
[279, 380