r 
liflti 1 J 
I M 
1 
■ 
460 Kap. IX. Theorie der Ramnkurven und Flächen 
F Äl~x) + F y ($~y) + F t (b-z) = 0, 
* «* (£-«)+ * «y 0) - 2/) + F at ($ ~ *) = 0. 
Wenn wir dagegen in A T =0 un( l T a = 0 unter a die durch 
F aa = 0 definierte Funktion von #, y, z verstehen, stellen die 
Gleichungen F = 0, = 0 die Gratlinie dar, die folglich in 
M die Tangente mit den beiden Gleichungen 
i F x J r F a a x) + ( F , + F a tt y) (D — V) + ( F z+ F a tt z) (ä~^) = 0, 
( F ax+ F aa a x) (E — ' X ) + ( F ay+ F aa CC y )(' i: )~y) + ( F az+ F aa a t ) (b~ 2 ) = 0 
hat. Da aber für die Gratlinie F a = 0 und F aa = 0 ist, sind 
dies dieselben Gleichungen wie die der Tangente der Charakte 
ristik. Also folgt: 
Satz 11: Die Gratlinie der Einhüllenden einer Flächen 
schar F(x, y, z, a) = 0 berührt in jedem Grenzpunkte die zu 
gehörige Charakteristik. 
Bei den allgemeinen Betrachtungen der letzten drei Num 
mern muß man beachten, daß über die Funktion F und über 
die durch F = 0, F a — 0 und F aa = 0 implizite definierten 
Funktionen besondere Annahmen gemacht wurden, deren Rich 
tigkeit bei jeder Anwendung zu prüfen ist. 
281. Tangenteuflächeu. Insbesondere sei jetzt als die 
Flächenschar F — 0 eine Schar von Ebenen gegeben, d. h. eine 
in x, y, z lineare Gleichung 
(1) u(a)x -f v{a)y -f w(a)z + «(«) = 0, 
deren Koeffizienten u, v, w, ro Funktionen einer willkürlichen 
Größe a sind. Differentiation nach a liefert: 
(2) u'x -+- v y + wz + ro' = 0, 
(3) u’x -f v"y -f- w"z + ra" = 0. 
Die Gleichungen (1) und (2) geben für einen beliebigen Wert 
von a eine zugehörige Charakteristik, und zwar eine Gerade, 
sobald nicht die drei zweireihigen Determinanten vw — wv, 
ivii—uw', uv'—vu sämtlich gleich Null sind. Alle drei 
Gleichungen geben einen auf der zugehörigen Charakteristik 
gelegenen Grenzpunkt, falls die Determinante 
380, 281]