§ 5. Einhüllende Flächen 
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U V IV 
U V IV 
u" x" w” 
nicht verschwindet. Alsdann sind auch die soeben erwähnten 
zweireihigen Determinanten nicht alle drei gleich Null. Die 
Charakteristiken sind nach Satz 11 der vorigen Nummer die 
Tangenten der Gratlinie. Die Einhüllende ist folglich die Fläche 
der Tangenten der Gratlinie. Sie heißt die Tangentenfläche der 
Gratlinie. Jede Ebene (1) berührt sie längs einer Geraden, 
nämlich längs der zugehörigen Charakteristik. 
Verstehen wir unter x, y, z diejenigen Funktionen von a, 
die durch die Auflösung der Gleichungen (1), (2), (3) hervor 
gehen, also die Koordinaten der Punkte der Gratlinie, aus 
gedrückt durch die Hilfsveränderliche a, so muß die voll 
ständige Differentiation jener Gleichungen nach a Null liefern. 
Diese Differentiation der Gleichungen (1) und (2) gibt mit Rück 
sicht auf (2) und (3): 
(5) ux + vy -f wz = 0, ux + vy -f- wz = 0. 
Die erste dieser beiden Gleichungen wiederum liefert, abermals 
vollständig nach a differenziert, mit Rücksicht auf die zweite: 
(6) ux" -f vy" + wz" = 0. 
Nach der ersten Gleichung (5) und nach (6) sind u, v, w pro 
portional zu y'z" — zy" usw., d. h. nach (9) in Nr. 264 propor 
tional zu den Richtungskosinus der Binormale der Gratlinie. 
Die Gleichung (1) stellt daher für jeden bestimmten Wert von 
a die Schmiegungsebene der zugehörigen Stelle der Gratlinie in 
den laufenden Koordinaten x, y, z dar. 
Gehen wir umgekehrt von einer Raumkurve aus und be 
trachten wir die Schar ihrer Schmiegungsebenen als die ge 
gebene Ebenenschar, so folgt aus Satz 5 von Nr. 269 und kann 
auch leicht aufs neue bewiesen werden, daß die Charakteristiken 
die Tangenten der Raumkurve sind. 
Ist die Determinante (4) für alle Werte von a gleich 
Null, so heißt dies: Drei Funktionen von a, deren Ableitungen 
u, v, w sind, haben die in Satz 7, Nr. 275, angegebene Eigen 
schaft, so daß zwischen ihnen eine lineare Gleichung mit 
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