§ 5. Einhüllende Flächen
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wobei der Akzent die Differentiation nach der Bogenlänge s
andeutet. Die Formeln (2) geben, wenn man außer s auch t
veränderlich läßt, die Koordinaten aller Punkte der Tangenten-
fläcfie der Kurve (1), ausgedrückt mittels zweier Hilfsverän-
derlichen s und t. Dies ist ein Beispiel zu der am Schlüsse
von Nr. 251 erwähnten Darstellung (6) einer Fläche. Ferner
sei R der Krümmungsradius der Kurve (1); er ist eine gewisse
Funktion von s. Wir betrachten außer M noch einen benach
barten Punkt M' der Kurve (1), etwa den zu s + is gehö
rigen; die Tangenten von M und M' bilden miteinander einen
gewissen Winkel, auch wenn sie einander gar nicht treffen.
Der Grenzwert des Verhältnisses aus diesem Winkel und aus
z/s ist für lim z/s = 0 nach Nr. 260 die Krümmung 1 : R.
Außer der Raumkurve (1) wollen wir jetzt eine Kurve
in einer Ebene betrachten, bei der s ebenfalls die Bogen
länge bedeute:
(3) £-$(«),»- T(s),
und wir wollen voraussetzen, daß der Krümmungsradius R dieser
ebenen Kurve genau dieselbe Funktion der Bogenlänge s sei wie
bei der Raumkurve (1).
Nun können wir jedem Punkte M von (1) einen Punkt 9K
von (3) zuordnen, nämlich denjenigen, der zu demselben Werte
von s gehört. Die Kurven (1) und (3) haben in entsprechenden
Punkten M und 9?i die gleiche Bogenlänge und die gleiche
Krümmung. Wie bei der Raumkurve ziehen wir auch bei der
ebenen Kurve (3) die Tangente des Punktes 9Ji und tragen
auf ihr, mit gehöriger Beachtung des Vorzeichens, von
aus die Strecke t ab, wodurch wir zu einem Punkte 90^ der
jt)-Ebene gelangen, dessen Koordinaten sind:
(4) S, - l + £% Di = D + $t-
Der Akzent deutet wieder die Differentiation nach der Bogen
länge s an. Zu jedem bestimmten Wertepaare s, t gehört also
sowohl ein Punkt M t der Tangentenfläche der Raumkurve als
auch ein zugeordneter Punkt 90^ der jt)- Ebene.
Lassen wir auch bei der ebenen Kurve (3) die Bogen
länge s um z/s wachsen, wodurch wir zu demjenigen Punkte
Sir gelangen, der dem Punkte M' zugeordnet ist, so bilden
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