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Kap. IX. Theorie der Raumkurven und Flächen 
die durch Punkte angedeuteten Glieder höhere Potenzen von 
z/s enthalten. Setzen wir eine derartige Entwicklung für t in 
die Werte von y 1 und z x ein, so kommt: 
3h = 
2R, 
z1s 2 + 
01 3 R n T a ^ S * + 
Daher ist der Anfangspunkt M 0 eine Spitze (Rückkehrpunkt) 
der Schnittlinie der Tangentenfläche mit der Normalebene von 
M 0 , vgl. Nr. 184 und Nr. 190. Seine Tangente ist die y-Ach Be, 
d. h. die Hauptnormale von 3I 0 . 
Die beiden Mäntel der Tangentenfläche bilden also in der 
Tat längs der Raumkurve einen scharfen Grat miteinander. 
$ 6. Polarfläche, Evoluten und Evolventen. 
284. Folarfläche. Die Einhüllende der Normalebenen 
(1) «(X-aO + 0ft-y) + y(S-*) = O 
der Punkte (x, y, z) einer Kurve heißt die Polarfläche der 
Kurve. Zweimalige Differentiation von (1) nach der Bogen 
länge s gibt nach Nr. 272 mit Rücksicht auf (1): 
| l(i — x) + m(l) - y) + n(j — z) = R, 
® \Kl — «) + -y) + v{h-z) = — T™, 
da a 2 -f- ß 2 -j- y 2 = 1 und la -f- mß -f- ny = 0 ist. Alle drei 
Gleichungen (1) und (2) definieren zusammen die Punkte 
(j, t), 3) der Gratlinie der Polarfläche, die Gleichung (1) und 
die erste Gleichung (2) dagegen die Charakteristiken der Polar 
fläche. Man ersieht aus Nr. 263, daß die Charakteristiken die 
Krümmungsachsen der gegebenen Kurve sind, und nach (5) in 
Nr. 276, daß die Gratlinie der Polarfläche der Ort der Mittel 
punkt der Schmiegungskugeln ist. Nach Nr. 281 sind also die 
Krümmungsachsen die Tangenten des Ortes der Mittelpunkte des 
Schmiegungskugeln. 
285. G-ratlinie der Folarfläche. Die Koordinaten 
der Punkte der Gratlinie der Polarfläche, d. h. diejenigen Werte 
von £, und 3, die den Gleichungen (1) und (2) der letzten 
383, 384, 385J