§ 6. Polarfläche, Evoluten und Evolventen 
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Nummer genügen, mögen wie in Nr. 276 x, y und z heißen. 
Dann ist wie in (5) ebenda: 
(1) x=x+lR—XR'T, y=y-\-mR—gR'T, z=z-\-nR—vR' T. 
Dies also sind die Gleichungen der Gratlinie der Polarfläche, 
ausgedriickt mittels der Bogenlänge s der Urkurve, wobei 
R' = dR:ds ist. Differentiation hinsichtlich s gibt nach 
Nr. 272: 
und entsprechende Formeln gehen für dy : ds und dz : ds 
hervor. Da die Tangenten der Gratlinie, d. h. die Krümmungs 
achsen der Urkurve, zu den Binormalen der Urkurve parallel 
sind, geben wir ihnen und damit auch der Gratlinie denselben 
positiven Sinn wie diesen Binormalen. Dann sind nach (1) 
in Nr. 259 dx:ds = X, dy : ds = g, dz : ds = v die Rich 
tungskosinus cc, ß, y der Tangente der Gratlinie, wenn ds das 
Bogendifferential der Gratlinie bedeutet, so daß aus (2) folgt: 
(3) 
Außerdem ist: 
(4) 
cc = X, ß — g, y = v. 
Ferner seien T, m, n die Richtungskosinus der positiven Haupt 
normale der Gratlinie, und außerdem sei R der Krümmungs 
radius der Gratlinie. Da dä = dX usw. ist, folgt aus Nr. 272: 
mithin l : m :n = 1: m : n, d. h. die Hauptnormale der Grat 
linie der Rolarfläche ist zur Hauptnormale der Urhirve parallel, 
natürlich an entsprechenden Stellen beider Kurven. Die Ri- 
normale der Gratlinie ist folglich zur Tangente der Urkurve 
parallel. 
286. Krümmung und Torsion der G-ratlinie der 
Polarfläche. Aus den letzten Formeln folgt durch Quadrieren 
und Addieren, daß ds 2 : R? = ds 2 :T 2 wird. Da R nach Nr. 260 
stets positiv ist, kommt also: 
ds