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Kap. IX. Theorie der Raumkurven und Flächen 
d. h. die Polar fläche ist der Zylinder, dessen senkrechter Quer 
schnitt die Evolute ist. Die Polarfläche hat, weil sie in einen 
Zylinder ausartet, keine Gratlinie, vgl. Nr. 281. 
290. Planevolventen. Ist eine Kurve im Raume ge 
geben, so kann man sich fragen, ob sie die Gratlinie der Polar 
fläche einer andern Kurve sein kann. Nach der Definition in 
Nr. 284 hat man zu fordern, daß die Schmiegungsebenen der 
gegebenen Kurve die Normalebenen der gesuchten Kurve werden, 
d. h. die gesuchten Kurven sind die orthogonalen Trajektorien der 
Schmiegungsebenen der gegebenen Kurve. Man nennt sie die 
Planevolventen der gegebenen Kurve, diese selbst die zuge 
hörige Planevolute. Die Gratlinie der Polarfläche einer Kurve 
ist also die Planevolute der Kurve. 
Die Bestimmung der Planevolventen einer gegebenen Kurve 
kann in folgender Weise durchgeführt werden: Wir wollen 
bei der gegebenen Kurve die gebräuchlichen Bezeichnungen 
x,y,z\ cc, ß, y; l, m, n- A, g, v und R für die Koordinaten, die 
Richtungskosinus der Kanten des begleitenden Dreikants und 
den Krümmungsradius benutzen. Dagegen seien |, g, £ die 
Koordinaten des in der Schmiegungsebene des Punktes M 
oder {cc, y, z) gelegenen Punktes der gesuchten Planevolvente. 
Zunächst muß sein: 
A(£ — x) + g{rj — y) + v(g — ¿0 = 0. 
Die Größen 
X=a(£— x ) + ß(rj—y) + y(£—z), Y=l(£-x) + m(ri—y)+n(t-z) 
sind die Koordinaten des Punktes (£, i], £) in demjenigen Achsen 
kreuze, das in der Schmiegungsebene von der positiven Tangente 
und Hauptnormale von M gebildet wird. Die Auflösung aller 
drei Gleichungen gibt nach Nr. 264: 
(1) l=x-\-aX-\-IY, rj=y-\-ßX+mY, £=0+yX-\-nY. 
Da die Planevolvente die Schmiegungsebene senkrecht schneiden 
soll, handelt es sich nun darum, die Funktionen X und Y so 
zu bestimmen, daß 
(2) ud\ -f ßdg -J- ydt, = 0, ld\ -f- 7ndrj -f- ndt, = 0 
wird. Aus (1) aber folgt nach (1) in Nr. 259 und nach (4) 
und (3) in Nr. 272, wenn wir die Bogenlänge 0 der sphärischen 
*89, *90]