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Kap. IX. Theorie der Raumkurven und Flüchen 
in den Gleichungen sechs willkürliche Konstanten auf. Die 
Zahl n der vorigen Nummer ist also jetzt gleich sechs. Aus 
n = 2 (r + 1) folgt nun r = 2, so daß wir vermuten dürfen, 
daß es gerade einen Kreis gibt, der eine gegebene Kurve an 
einer gegebenen Stelle in der höchsten möglichen Ordnung, 
und zwar in der zweiten, berührt. In der Tat: Wenn die Be 
rührung von zweiter Ordnung sein soll, müssen die Ableitungen 
erster und zweiter Ordnung von y und z beim Kreise mit denen 
bei der Kurve übereinstimmen; der Kreis muß also in der 
Schmiegungsebene des Kurvenpunktes, folglich seine Mitte auf 
der Hauptnormale liegen, da er die Kurve berühren soll. Weil 
auch der Krümmungsradius von den Ableitungen bis zur zweiten 
Ordnung abhängt, muß er der Radius des Kreises sein, d. h. 
der oskulierende Kreis ist der Krümmungskreis. Er berührt im 
allgemeinen in nicht höherer als zweiter Ordnung, denn wenn 
die Berührung von dritter Ordnung wäre, würde die Torsion 
der Kurve an der betrachteten Stelle mit der des Kreises über- 
einstimmen, die jedoch nach Satz 6 von Nr. 275 gleich Null ist. 
Also folgt: 
Satz 20: Derjenige Kreis, der mit einer Baumkurre an 
einer Stelle, deren Torsion nicht gleich Nidl ist, eine Berührung 
in möglichst hoher Ordnung cingeht, ist der Krümmungskreis, und 
seine Berührung ist von gerade zweiter Ordnung. 
Ist die Torsion dort gleich Null, so wird übrigens der 
Krümmungskreis im allgemeinen die Kurve auch dann nur in 
der zweiten Ordnung berühren, denn dieser Fall tritt z. B. bei 
den ebenen Kurven ein, vgl. Satz 6 von Nr. 275 uud Satz 20 
und 21 von Nr. 218. 
301. Berührung zwischen zwei Flächen. Man sagt: 
Zwei Flächen berühren einander, wenn sie einen Punkt 31 und 
die Tangentenebene von 31 gemein haben. Legen wir dann 
durch die gemeinsame Normale von M eine beliebige Ebene, 
so schneidet sie die Flächen in zwei ebenen Kurven k und k ly 
die einander in 31 berühren. Die Ordnung dieser Berührung 
kann für verschiedene Schnittebenen verschieden sein. Ist sie 
für keine Schnittebene kleiner als r und für mindestens eine 
gleich r, so sagen wir, daß die Flächen einander in 31 in ge 
rade r ter Ordnung berühren. 
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