§ 7. Berührung höherer Ordnung zwischen Kurven und Flächen 48!) 
Die gemeinsame Normale sei zunächst zur z-Achse parallel, 
und die Schnittebene bilde mit der a;^-Ebene den Winkel co. 
Ferner seien x, y, z die Koordinaten von M. In der Schnitt 
ebene ziehen wir eine zur Normale benachbarte und parallele 
Gerade, die 1c und \ in M' und M x treffe, so daß x -f- /ix 
und y + Ay gemeinsame x- und ¿/-Koordinaten von M' und 31 x 
sind, während 31' und 31 x verschiedene ^-Koordinaten z -f- Az 
und z Az x haben werden. Nach Nr. 214 ist zu fordern, daß 
die Differenz Az — Az x mit der Entfernung ~[/Ax 2 + A y 2 
zwischen der Normale und 31'31 x mindestens in der (r + l) ten 
Ordnung gleich Null werde, wie immer auch co gewählt sein 
mag, und daß dies für wenigstens einen Wert von co in gerade 
(v -|- l) ter Ordnung der Fall sei. Sind die Koordinaten z und z x 
der beiden Flächen Funktionen von x und y, die mit ihren Ab 
leitungen bis zu denen von der (r -f l) ten Ordnung stetig in der 
Umgebung des betrachteten Wertepaares x, y sind, so ist nach 
Satz 28 von Nr. 137 zu verlangen, daß für beide Flächen an der 
betrachteten Stelle 
(1) dz = dz x , d 2 z — d 2 z x , . . . d (r) z = d^z x 
sei, sobald dx = q cos co, dy = q sin co gesetzt wird, und daß 
wenigstens für einen Wert von co: 
(2) d^z + S r+1 h x 
sei. Da die Bedingungen (1) unabhängig von dem Werte von 
co, also für alle Differentiale dx und dy gelten sollen, müssen 
an der betrachteten Stelle nicht nur z und z x , sondern auch 
alle partiellen Ableitungen von z und z x bis zu denen von der 
r ten O r (] niin g entsprechend gleiche Werte haben. Wegen (2) 
darf dies jedoch nicht für alle Ableitungen von der (r -j- l) ten 
Ordnung gelten. 
Daß dieser Schluß von der Annahme, daß die gemeinsame 
Normale zur ¿’-Achse parallel sei, unabhängig ist, erkennt man 
wie in Nr. 298 durch Einführung eines neuen Achsenkreuzes. 
Nur darf die neue ¿r-Achse nicht parallel zur Tangenten ebene 
von 31 sein. Dies ist aber auch sicher nicht der Fall, wenn 
die Ableitungen erster Ordnung von z und z x stetig sind. So 
mit folgt: 
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