Zehntes Kapitel. 
Fliichenkurven und Fläclienfamilien. 
§ 1. l)ie Krümmungsradien eines Fläehenpunktes. 
303. Vorbemerkung 1 . Da wir uns jetzt zu Kurven auf 
Flächen, kurz gesagt zu Flächenkurven, wenden, also die Theo 
rie der Kurven mit der Theorie der Flächen verbinden wollen, 
sei vorweg bemerkt, daß wir uns die Fläche meistens in der 
Form z = fix, y) gegeben denken werden. Dann ist eine 
Flächenkurve definiert, wenn x und y gewisse Funktionen einer 
Hilfsveränderlichen sind und für z die aus z = f(x,y) hervor 
gehende Funktion dieser Veränderlichen gesetzt wird. Wir 
nehmen dabei an, daß alle vorkommenden Funktionen nebst 
ihren Ableitungen, soweit sie gebraucht werden, in einer Um 
gebung der betrachteten Stelle der Fläche stetig seien. 
Wie in Nr. 85 seien mit p und q die Ableitungen erster 
Ordnung und mit r, s, t die Ableitungen zweiter Ordnung von 
z = fix, y) bezeichnet, so daß auf der Fläche 
(1) dz = pdx -j- q dy, dp = rdx -j- sdy, dq = sdx-\-tdy 
ist. Das vollständige Differential zweiter Ordnung von z lautet: 
(2) d 2 z = r dx 2 + 2sdxdy + tdif. 
304. Krümmungsradius einer Flächenkurve. Es 
sei M oder {cc, y, z) ein Flächenpunkt, durch den eine gewisse 
Kurve auf der Fläche gehe. Wie immer bezeichnen wir mit 
a, ß, y bzw. I, m, n die Richtungskosinus der positiven Tan 
gente bzw. Hauptnormale der Kurve an der Stelle M, mit H 
ihren Krümmungsradius in M und wie in Nr. 260 mit dö ihren 
Kontingenzwinkel, d. h. mit a die Bogenlänge der sphärischen 
[303, 304