§ 1. Die Krümmungaradien eines Fläehenpunktes
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Weil der Krümmungsmittelpunkt auf der positiven Hauptnor
male liegt, ist er im einen oder anderen Falle auf der positiven
bzw. negativen Seite der Tangentenebene der Fläche gelegen.
305. Der Meusniersche Satz. Durch den Flächen
punkt M werde nun die Ebene gelegt, die die Flächennormale
und die Tangente der Flächenkurve enthält. Sie schneidet die
Fläche in einer ebenen Kurve, die man einen Normalschnitt der
Fläche in M nennt und zwar denjenigen, der zur gegebenen
Kurventangente gehört. Die Hauptnormale des Normalschnittes
in M fallt mit der Flächennormale in M zusammen. Als
positiven Sinn längs des Normalschnittes wählen wir denjenigen,
der der positiven Kurventangente in M entspricht. Je nach
dem die Hauptnormale des Normalschnittes gleichsinnig oder
ungleichsinnig mit der Flächennormale zusammenfällt, ist der
Kosinus des Winkels der beiden Geraden gleich -f 1 oder — 1.
Ist R 0 der Krümmungsradius des Normalschnittes in M, so
gibt folglich die Formel (5) der vorigen Nummer, die ja für
beliebige Flächenkurven gilt, insbesondere:
/, _ , \'p~ + g*+~i .
1,0 — r« a -f 2saß -(- tß 2
Da R 0 nach Nr. 260 positiv ist, gilt das obere oder untere
Zeichen, je nachdem ru? -j- 2saß -f tß 2 positiv oder negativ ist.
Es erscheint jedoch zweckmäßig, bei den Normalschnitten
von denjenigen Vorzeichen-Festsetzungen abzusehen, die wir in
Nr. 260, 261 für Raumkurven machten, und zwar deshalb, weil
diese Normalschnitte ebene Kurven sind, die mit der Gestalt
der Fläche an der Stelle M in engem Zusammenhänge stehen.
Wir wollen deshalb unter R 0 nicht den stets positiven Krüm
mungsradius des Normalschnittes in M verstehen, sondern den
mit -f 1 oder — 1 multiplizierten Wert, d. h. wir setzen:
(1)
p = Vp*+g* + 1
0 ru 2 2fiaß -j- tß‘ J
mit positiver Wurzel, so daß nunmehr R 0 positiv oder negativ
ist, je nachdem der Krümmungsmittelpunkt des Normalschnittes
auf der positiven oder negativen Flächennormale liegt.
Die letzte Formel (1) und die Formel (5) von Nr. 304
ergeben nun:
[304, 305
