§ 1. Die Krümmungsradien eines Flächenpunktes 
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punkt M selbst als Anfangspunkt und seine positive Normale 
als s-Achse wählen, so daß die xy-Ebene die Tangentenebene 
von M wird. Nach (3) in Nr. 304 ist dann für den Punkt M 
wegen Z = 1 auch p 2 + q 2 = 0, d. h. p = 0 und q = 0. Ferner 
sei co der Winkel, den die durch M gezogene Tangente mit 
der positiven x- Achse bildet, so daß o: = coseo, /3 = sin со wird. 
Nun ergibt (1): 
(2) li = r cos2g) ~b 2s cos со sin co -j- t sin 2 co 
= (r -f-t) -j- Y (r — t) cos 2 co + s sin 2 co. 
Zu co und zu со + л gehören dieselben Werte von R, was da 
mit im Einklänge steht, daß beiden Winkeln derselbe Normal 
schnitt entspricht. 
Bedeutet 2 co 0 denjenigen Winkel zwischen 0 und n, 
für den 
(3) tg2c 0 = ^- t , also 8 ш2ш 0 =^=^==>0 
ist, so können wir (2) so schreiben: 
(4) ~ (r + 0 -M cos 2 (ro — oo 0 ) V(r- ty + 4s 2 , 
wobei die Wurzel das Vorzeichen der Ableitung s hat. Hier 
nach erreicht 1: R für diejenigen Werte von co ein Maximum 
oder Minimum, für die cos 2 (со — co 0 ) = ± 1 ist, d. h. für co = co 0 
und für со = co 0 + л. Für co == co 0 hat 1 : R das Maximum 
oder Minimum, je nachdem s positiv oder negativ ist, und für 
oo = co 0 -f y 3C > J e nachdem s negativ oder positiv ist. Es gibt 
also zwei zueinander senkrechte Normalschnitte, für die R ein 
Maximum bzw. Minimum hat. Diese Norraalschnitte heißen 
die Hauptschnitte des Flächenpunktes M. 
307. Nabelpunkte. Ehe wir das letzte Ergebnis als 
Satz formulieren, ist noch zu bemerken, daß der Winkel co 0 
unbestimmt wird, wenn s = 0 und r = t ist. In diesem 
Ausnahmefalle gibt die Formel (2) der vorigen Nummer 
1 : R — r, d. h dann haben alle Normalschnitte von M den 
selben Krümmungsradius. Flächenpunkte von dieser Beschaffen 
heit heißen Nabelpunkte. 
Also sagen wir: