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Kap. X. Flächenkurven und Flächenl'amilien 
Satz 3: Unter den Normalschnitten eines regulären Flächen 
punktes, der kein Nabelpunkt ist, gibt es stets zwei, für die der 
Krümmungsradius ein Maximum bzw. Minimum hat, und sie 
sind zueinander senkrecht. 
Die Formel (1) für R in voriger Nummer, bei der die 
besondere Annahme über das Achsenkreuz noch nicht gemacht 
Avorden Avar, zeigt, Avelches die allgemeine Bedingung für einen 
Nabelpunkt ist. Da nämlich a, ß, y die Richtungskosinus der 
Tangente sind, und da die Tangente auf der Flächennormale 
senkrecht steht, sind a, ß, y nach (3) in Nr. 304 an die bei 
den Bedingungen a 2 + ß 2 + y 2 = 1 und ap -f- ßq = y gebunden, 
d. h. zAvischen cc und ß besteht bloß die Bedingung: 
a 2 -f ß 2 + (ap + ßq) 2 —1=0. 
Ein Nabelpunkt liegt also vor, Avenn der Nenner des Wertes 
(1) von R in voriger Nummer unter dieser Bedingung für alle 
W'erte von a und ß derselbe ist, d. h. Avenn es ZAvei von a 
und ß unabhängige Größen u und v derart gibt, daß für alle 
Werte von a und ß 
ra 2 -f 2saß -f tß 2 = u[a 2 + ß 2 F (ccp -f ßq) 2 — 1 ] -f v 
Avird. Dann muß u = v und 
(1) r = -Fp 2 ), s = upq, t = w(l -F q 2 ) 
sein. Elimination von u liefert demnach den 
Satz 4: Ein Funkt der Fläche z = f(x, y) ist dann und 
nur dann ein Nabelpunkt, wenn für ihn 
r: s: t = (1 + p 2 ):pq: (1 + q 2 ) 
ist, wobei p, q, r, s, t die Ableitungen erster und zweiter Ord 
nung von z bedeuten. 
Beispiel: Liegt ein Ellipsoid 
(2) ? + £+£-! 
vor, so ergibt Differentiation nach x bzvv. y: 
(3) 
also nochmalige Differentiation: 
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