§ 1. Die Krümmungsradien eines Flächenpunktes 
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Um die Nabelpunkte zu finden, setzen wir hierin für r, s, t 
die Werte (1) ein und erhalten: 
uz(l+p*) +^2 + ^ = 0, (l+uz)pq = 0, w£(l + 9 2 )+g 3 -j-p = 0. 
Ist 1 -f- uz = 0, so folgt a 2 = 6 2 = c 2 , was wir ausschließen, 
da das Ellipsoid dann eine Kugel ist. Wenn 1 + uz =f= 0 ist, 
gibt die zweite Gleichung entweder p = 0 oder # = 0. Nehmen 
wir a 2 >& 2 >c 2 an, so liefert die Annahme p = 0 für q keinen 
reellen Wert. Daher verbleibt die Annahme q = 0. In diesem 
Palle geben die vorhergehenden Gleichungen: 
x = 
y = 0, 
wobei die Vorzeichen der Wurzeln beliebig gewählt werden 
können. Daher hat ein Ellipsoid mit drei verschieden langen 
Achsen vier Nabelpunkte; sie liegen in der Ebene der größten 
und kleinsten Achse des Ellipsoids. 
308. Der Eulersche Satz. Wieder wählen wir wie in 
Nr. 306 einen Flächenpunkt M als Anfangspunkt und seine 
positive Normale als z-Achse. Außerdem können wir die bei 
den Hauptschnitte, die ja zueinander senkrecht sind, als xz- 
und 7/¿-Ebene benutzen, d. h. wir dürfen co 0 = 0 oder also 
s = 0 nach (3) in Nr. 306 annehmen, so daß die Formel (2) 
von Nr. 306 diese wird: 
(1) 
1 
R 
= r cos 2 « -f- t sin 2 « . 
Die Krümmungsradien B 1 und der beiden Hauptschnitte 
heißen die Hauptkrümmungsradien des Flächenpunktes, ihre 
reziproken Werte seine Hauptkrümmungen. Die Werte von 
und R 2 ergeben sich aus (1) durch die Annahmen « = 0 
und « = ^ jr: 
(2) 
1 
1 
= t. 
Aus (1) und (2) folgt nun weiter: 
Satz 5 (Eulerscher Satz): Sind R 1 und _ß 2 die Haupt 
krümmungsradien eines Flächenpunktes und ist « der Winkel 
[307, 308 
Serret-Scheffers, Biff.- u. Integr.-Kechn.I. 6.u.7. Auf). 
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