498 
Kap. X. Flächenkurven und Flächenfamilien 
eines beliebigen Normalschnittes des Punktes mit dem eisten 
Hauptschnitte, so ist die Krümmung dieses Normalschnittes: 
1 COS*© sin*C5 
b = ~bT + F 
Ersetzen wir co durch co -f- d. h. drehen wir den Nor- 
malschnitt um einen rechten Winkel, so ergibt sich iür die 
Krümmung 1 : 11' des neuen Schnittes: 
1 sin*© cos*© 
W = B, B* ’ 
so daß folgt: 
_1, _L = L , _L. 
B ^ K B, ^ B t 
Demnach: 
Satz 6: Die Summe der Krümmungen zweier zueinander 
senkrechter Normalschnitte eines Flächenpunktes ist für alle der 
artigen Paare in diesem Punkte die gleiche. 
Die halbe Summe der Hauptkrümmungen 1: R 1 und 1: P 2 
heißt die mittlere Krümmung der Fläche in dem betrachteten 
Punkte. Also: 
Satz 7: Pas arithmetische Mittel der Krümmungen zweier 
zueinander senkrechter Normalsclinitte eines Flächenpunktes ist 
gleich der mittleren Krümmung der Fläche in diesem Punkte. 
Ersetzen wir co iu Satz 5 durch — co, so bleibt die For 
mel des Satzes ungeändert. Dies bedeutet: 
Satz 8: Zwei Normalschnitte eines Flächenpunktes, die zu 
einem der Hauptschnitte und also auch zum andern symmetrisch 
liegen, haben übereinstimmende Krümmung. 
309. Überblick über die Krümmungen aller Nor 
malschnitte eines Flächenpunktes. Nach dem Eulerschen 
Satze ist die Krümmung 1: R eines beliebigen Normalschnittes 
eine Funktion des Winkels co, den die Ebene des Schnittes 
mit der einen Hauptschnittebene bildet. Durch Differentiation 
nach co ergibt sich aus der Formel des Eulerschen Satzes: 
Wir können, um zu einem Überblicke zu gelangen, den Win 
kel co nach dem letzten Satze auf das Intervall 0 ^ co ^ kn 
beschränken, in dem sin2co positiv ist. Wenn co von 0 bis 
308, 309]