§ 2. Die Dupinschen Inclikatrizen 
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\-jt wächst, nimmt daher 1 : R von 1 : R t bis 1 : R 2 entweder 
beständig zu oder beständig ab. 
Sind R l und R 2 beide positiv bzw. beide negativ, so ist 
auch 1 : R stets positiv bzw. stets negativ, d. h. dann sind alle 
Normalschnitte, von der positiven Normale aus betrachtet, 
konkav bzw. alle konvex. 
Wenn dagegen R x und R. } verschiedene Vorzeichen haben, 
nimmt 1 : R im ersten Quadranten einmal und nur einmal den 
Wert Null an, nämlich für denjenigen Winkel co zwischen 0 
und l-jc, für den tg 2 co = — R 2 : R x ist. Die zugehörige Nor 
malschnittebene sowie diejenige, die zu dieser Ebene symme 
trisch hinsichtlich der Hauptschnitte ist, teilen die Gesamtheit 
aller Normalschnitte des Punktes M in zwei Klassen. Die der 
einen Klasse sind, von der positiven Normale aus betrachtet, 
konvex und die der andern konkav, d. h. die Fläche ist an der 
Stelle J\f sattelförmig. 
§ 2. Die Dupinschen Indikatrizen. 
310. Oskulierende Flächen zweiter Ordnung. Wieder 
sei der Flächenpunkt M der Anfangspunkt, seine Tangenten 
ebene die xy-Ebene, und die Hauptschnitte seinen die xz- bzw. 
yz-Vbeue, so daß, wenn z = fix, y) die Flächengleichung ist 
und R x , R 2 die Hauptkriimmungsradien von M sind, die Ablei 
tungen erster und zweiter Ordnung von z an der Stelle M 
nach Nr. 306 und 308 die Werte haben: 
(1) P = 0, g = 0, r=J-, s = 0, 
Wir wollen jetzt diejenigen Flächen zweiter Ordnung be 
stimmen, die mit der gegebenen Fläche im Anfangspunkte M 
eine Berührung von möglichst hoher Ordnung eingehen. Die 
allgemeine Gleichung einer Fläche zweiter Ordnung, die durch 
den Anfangspunkt geht, lautet: 
(2) a n x 2 -t- 2a 12 xy -{- a 22 y 2 + 2a 13 xz + 2a 2Z yz -f a 23 z 2 + 
+ 2a u x -f 2a u y + 2a u z = 0. 
Um Satz 21 von Nr. 301 benutzen zu können, berechnen wir 
zunächst die Ableitungen p, q, r, s, t erster und zweiter Ord- 
32 * [309, 310