500 Kap. X. Flächenkurven und Flächenfamilien 
nung der durch (2) definierten Funktion z von x und y. Ein 
malige vollständige Differentiation nach x bzw. y ergibt: 
a n x + a n y + a 13 z + a u + («! 3 # + «23V *P «33^ “h «3a)p ~ 
a 12 x + a 2 . 2 y -f- a 23 z -f « 24 -f (a 13 x + a 23 y -f a 33 z + « 34 ) q = 0. 
Wir fordern nach (1), daß für x = y*= z = 0 auch p = q = 0 sei. 
Dies tritt für a u = a 24 = 0 ein. Von der Annahme a 3i = 0 
ist übrigens abzusehen, da sonst die Fläche (2) ein Kegel wäre, 
der im Anfangspunkt seine Spitze, d. h. einen singulären Punkt, 
hätte. Differenzieren wir die beiden letzten Gleichungen noch 
einmal vollständig nach x bzw. y, so gehen drei Gleichungen 
für r, s, t, hervor: 
«n + 2a 13 p + « 33 P 2 + (a 13 x + a 23 y + a 33 z + «34)»’ = 
«12 + «13 2 + «2äP + W + Ol3* + «23V + «33 ^ + «34) s = 0, 
«22 + 2 «23? + «33 <f + («l3+ «23 y + «33^ + «34^ = 0 - 
Wir haben nun für den Fall einer Berührung in zweiter Ord 
nung zu fordern, daß für x = y = z— p = q = 0 die Werte (11 
von r, s, t hervorgehen. Also muß sein: 
«U + = °, « 12 = 0, «22 + ^ = 0. 
Da a 3i =k 0 ist, darf a 34 = 1 gesetzt wrnrden. Nach (2) kommt 
dann 
( 3 ) ~ (r~ + I7 ~ 2e ) + 2a n xz + 2a nV z + «33^ = 0 
als die Gleichung der allgemeinsten Fläche zweiter Ordnung, die 
in M mit der gegebenen Fläche eine Berührung in mindestens 
zweiter Ordnung eingeht und in M keinen singulären Punkt 
hat. Berechnet man die Ableitungen dritter Ordnung von z nach 
x und y und setzt sie gleich den Werten, die sie für x = y = z = 0 
bei der gegebenen Fläche z = f(x, y) haben, so erkennt man, 
daß sich mehr Bedingungen als verfügbare Konstanten « 13 , 
«2 3 , « s3 ergeben. Solange wir also nicht für den Flächen 
punkt M besondere Annahmen machen, gibt es unter den Flä 
chen (3) keine, die mit der gegebenen Fläche eine Berühruug 
von höherer als zweiter Ordnung eingeht. Die Flächen (3) 
sind folglich nach Nr. 302 als die in M oshdierenden Flächen 
zweiter Ordnung zu bezeichnen. 
3IO| 
\ *.' W•„? V :V.