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Kap. X. Flächenkurven und Flächenfamilien 
Schnittkurven mit der Fläche zweiter Ordnung lauter ähnliche 
Kegelschnitte hervor, deren Mitten auf MM 0 gelegen sind. 
Ihre Projektion auf die Tangentenebene von M in der Richtung 
von M 0 nach M liefert also ebenfalls die Kegelschnitte (3). 
Hiernach hat sich ergeben: 
Satz 9: Alle diejenigen Flächen zweiter Ordnung, die eine 
gegebene Fläche in einem ihrer Funkte M in der zweiten Ord 
nung berühren, ohne dort eine singuläre Stelle zu haben, werden 
von den zur Tangentenebene von M parallelen Ebenen in Kegel 
schnitten getroffen, die, in der Richtung von ihren Mitten nach M 
auf die Tangentenebene von M projiziert, die Gleichung 
B, r iüj 
= honst. 
mit einer willkürlichen Konstante haben, wenn R x und R % die 
Hauptkrümmungsradien von M und die x- und y-Achse die 
jenigen Tangenten von M sind, die in den zu R i und I\ 2 ge 
hörigen Hauptschnitten von M liegen. 
Wenn wir Polarkoordinaten co, q in der Tangentenebene 
von M benutzen, indem wir a: = pcosco, y = q sineo setzen, 
kommt statt (3): 
„/cos 2 ® . sin 2 ®\ , . 
»■(-sr + ~*r) ~ 
Der Eulersche Satz von Nr. 308 gibt also: 
(4) jy = konst. 
Satz 10: Die Krümmungsradien der Normalschnitte eines 
Flächenpunktes M sind proportional zu den Quadraten derjenigen 
Radienvektoren einer der Dupinsclien Indikatrizen von M, die 
in den betreffenden Normalschnittebenen gelegen sind. 
312. Elliptische, hyperbolische und parabolische 
Funkte. Wenn die Hauptkrümmungsradien R x und R 2 das 
nämliche Vorzeichen haben, also alle Normalschnitte von M 
nach derselben Seite der Tangentenebene hin konvex sind (vgl. 
Nr. 309), ergeben sich nur dann reelle Indikatrizen, wenn 
der Konstante in der Formel des Satzes 9 dasselbe Vorzeichen 
gegeben wird, und zwar sind sie Ellipsen. Deshalb heißt ein 
Flächenpunkt elliptisch, wenn für ihn R x lt 2 > 0 ist. 
Wenn R x und R 2 verschiedene Vorzeichen haben, so daß 
311, 313]