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§ 2. Die Dupinselien Indikatrizen 
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die Normalschnitte von M teils nach der einen, teils nach 
der anderen Seite der Tangentenebene hin konvex sind, er 
gehen sich dagegen als Indikatrizen lauter Hyperbeln. Sie haben 
sämtlich dieselben Asymptoten, da durch tg 2 co == — Jt 2 : B i die 
Winkel co der Asymptoten mit der ir-Achse bestimmt werden. 
Die Asymptoten liegen nach Nr. 309 in denjenigen Normal 
schnitten von M, deren Krümmung in M gleich Null ist. Je 
nachdem die Konstante in der Gleichung der Indikatrizen posi 
tiv oder negativ gewählt wird, liegt die Hyperbel im einen 
oder anderen Winkelfelde der Asymptoten. Ein Flächenpunkt 
heißt deshalb hyperbolisch, wenn für ihn P x < 0 ist. 
Es kann auch der Fall eintreten, wo 1 : P x oder 1 : jR 2 
gleich Null ist. Im Falle 1: = 0 z. B. besteht jede Inditatrix 
aus zwei zur cr-Achse parallelen Geraden und kann als Aus 
artung einer Parabel aufgefaßt werden. In diesem Falle heißt 
der Flächenpunkt parabolisch. Die Krümmungen aller Normal 
schnitte von M sind hier nach dem Eulerschen Satze, Nr. 308, 
zwischen Null und 1 : gelegen, d. h. alle Normalschnitte 
sind nach derselben Seite der Tangentenebene hin konvex. 
Ist sowohl 1 : R t als auch 1 : P 2 gleich Null, so haben 
alle Normalschnitte des Flächenpunktes M nach dem Euler 
schen Satze die Krümmung Null. Die allgemeine Formel (1) 
in Nr. 306 lehrt, daß dies nur dann eintreten kann, wenn 
dort r = s = t = 0 ist, und zwar unter Voraussetzung einer be 
liebigen Lage des Achsenkreuzes. Derartige Flächenpunkte sollen 
als singidäre Punkte von den allgemeinen Betrachtungen aus 
geschlossen werden. Für einen derartigen Punkt wird die 
Gleichung (3) der oskulierenden Flächen zweiter Ordnung in 
Nr. 310 einfach diese: 
z(2a n x + 2a i3 y + a 33 z + 2) = 0. 
Die Flächen zerfallen also in die Tangentenebene von M und je 
eine beliebige Ebene. Nach Satz 21 von Nr. 301 berührt anderer 
seits eine Ebene z = ax -j- by + c, bei der jar = s = £ = 0 ist, 
eine Fläche in einem Punkte in der Tat nur dann in min 
destens zweiter Ordnung, wenn für die Fläche dort auch 
r = s = t = 0 ist. 
Für einen Nabelpunkt (vgl. Nr. 307) sind die Indikatrizen 
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