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Kap. X. Flächenkurven und Fläckenfamilien 
Kreise. Ist die gegebene Fläche selbst eine Fläche zweiter 
Ordnung, so gehört sie mit zu ihren oskulierenden Flächen 
zweiter Ordnung. Die Nabelpunkte einer Fläche zweiter Ord 
nung sind mithin die Berührungspunkte derjenigen Tangenten 
ebenen, die den Kreisschnitten der Fläche parallel sind, vgl. 
das Beispiel in Nr. 307. 
313. Ableitung früherer Ergebnisse aus den Indi- 
katrizen. Mit Hilfe der bekannten Eigenschaften der Kegel 
schnitte und auf Grund des Satzes 10 von Nr. 311 lassen sich 
die Sätze 6 bis 8 von Nr. 308 von neuem beweisen. Bei 
einer Ellipse ist ja die Summe der Quadrate der reziproken 
Werte zweier zueinander senkrechter Halbmesser konstant. 
Außerdem sind bei einer Ellipse und auch bei einer Hyperbel 
zwei Halbmesser, die mit der Hauptachse den gleichen Winkel 
bilden, gleich lang. Um Satz 6 von Nr. 308 insbesondere für 
einen hyperbolischen Punkt abzuleiten, müssen wir beachten, 
daß die Konstante in der Formel (4) von Nr. 311 die in der 
Gleichung der Indikatrizen auftretende Konstante ist. Der 
Satz 10 von Nr. 311 gilt also für alle Normalschnitte eines 
hyperbolischen Punktes, wenn wir die beiden Hyperbeln 
* i V _ , i. 
r; + b- 3 ~ ±Iv 
mit derselben Konstante k, aber verschiedenen Vorzeichen 
von k benutzen. Dies sind zwei sogenannte konjugierte Hyper 
beln. Für diejenigen Normalschnitte, deren Ebenen die eine 
oder andere Hyperbel schneiden, lautet dann die Formel (4) 
von Nr. 311 so: 
~ = k bzw. 
Jtl 
11 = _ /• 
B 
Bei konjugierten Hyperbeln ist aber die Differenz der Quadrate 
der reziproken Werte zweier zueinander senkrechter Halb 
messer konstant. Sind nun q und q' solche Halbmesser und 
B und R die zugehörigen Krümmungsradien, so ist = kB, 
= — kB', also: 
= konst. 
wie in Satz 6 von Nr. 308. 
313, 313]