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Kap. X. Flächenkurven und Flächenfamilien 
315. Konjugierte Tangenten. Auf der Fläche z = f(x,y) 
sei eine Kurve gegeben. Ihre Koordinaten x, y, z sind Funk 
tionen einer Hilfsveränderlichen, vgl. Nr. 303. Die Tangenten 
ebene der Fläche in einem Punkte (x, y, z) oder M der Kurve 
hat in den laufenden Koordinaten g, t), 5 nach (5) in Nr. 253 
die Gleichung: 
(1) l — z — £>(S - x) - 2 (1) — 9) = °- 
Hierin sind x und y und also auch z, p und q Funktionen 
der Hilfsveränderlichen. Die Gesamtheit derjenigen Tangenten 
ebenen der Fläche, deren Berührungspunkte M auf der Flächen 
kurve liegen, bildet also eine von der Hilfsveränderlichen ab 
hängige Schar, deren Einhüllende nach Nr. 282 eine abwickel 
bare Fläche ist. Zur Bestimmung dieser Fläche müssen wir die 
Gleichung (1) nach der Hilfsveränderlichen differenzieren, was 
der Akzent andeuten soll: 
— z' — p(l — x) — q(t) — y) + px + qy = 0. 
Längs der Kurve ist z = f(x, y), daher dz = pdx + qdy oder 
z' = px-\-qy', so daß bleibt: 
(2) — + 0'Oj-y)“ 0 * 
Elimination der Hilfsveränderlichen aus (1) und (2) gibt die 
Gleichung der abwickelbaren Fläche, geschrieben in den lau 
fenden Koordinaten g, t), §. 
Um die Gratlinie der abwickelbaren Fläche zu bestimmen, 
differenzieren wir (2) abermals. Es kommt: 
(3) p\l — x) + q"(i) ~ y) ~ (.px + qy) = 0. 
Die Gleichungen (1), (2), (3) werden zusammengefaßt in den 
Formeln: 
(4) = 9 — y = b — z = +gV . 
' ; q —p pq—qp q'p'—p'q" 
Sie geben die laufenden Koordinaten g, V), 5 der Punkte der 
Gratlinie als Funktionen der Hilfsveränderlichen. Die Glei 
chungen (4) sind, wenn von dem letzten Bruche abgesehen 
wird, dieselben wie (1) und (2) und bestimmen für jeden 
Wert der Hilfsveränderlichen eine geradlinige Charakteristik 
der Einhüllenden, die durch den zugehörigen Punkt M der 
gegebenen Flächenkurve geht. Diese Charakteristik ist, weil 
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