§ 3. Hauptkrümuiungsradien und Krümmungsmaß einer Fläche 515 
Wir erinnern daran, daß das Vorzeichen des Inhaltes eines 
ebenen Dreiecks von dem Sinne abhängt, in dem das Dreieck 
umlaufen wird, und daß wir hier bei beiden Dreiecken den 
entsprechenden Sinn gewählt haben. Da sie die Projektionen 
von krummlinigen Dreiecken auf der Fläche und der Kugel 
sind und diese beiden Flächenstücke in den Umgebungen zweier 
Stellen M und 917 mit parallelen Tangenten ebenen liegen, 
haben wir also die Inhalte der Dreiecke auf der Fläche und 
auf der Kugel mit bestimmten Vorzeichen versehen, die von 
dem Sinne des Umlaufs abhängen, falls die Fläche von der 
positiven Normale aus und die Kugel von außen betrachtet wird. 
Nach (10) in Nr. 253 haben wir nun: 
X — 
Y=- 
wobei w = ]/p 2 -|- q 2 -f- 1 ist. Hieraus folgt: 
(3) 
X. 
V = 
7 
W x p — rw 
w s 
w x q — s w 
~w* 5 
r„ 
w v p — SW 
U 2 * 
Wy q — t w 
w 1 ’ 
so daß aus (2) hervorgeht: 
K 
= 4 V w \ rt “ s 2 ) - ww x (pt - 2«) “ wwJqr-ps)]. 
1 W xP ~~ TW W yP — SW 
w4 l iv x q — stv w y q — tiv 
Nun ist iv 2 = p 2 q 2 1, also ww x = pr + qs, ww =ps-\- qt. 
Demnach geht schließlich nach (4) in Nr. 317 hervor: 
rt — s 2 1 
(JP*+ «*+!)* = KK' 
Somit ist die Krümmung der Fläche in einem Punkte 
gleich dem Produkte der beiden Hauptkriimmungen des Punktes. 
319. Die Krümmungskurven. Konstruiert man in 
jedem Punkte einer Flächenkurve die zugehörige Normale der 
Fläche, so werden diese Normalen im allgemeinen nicht die 
Tangenten einer Uaumkurve sein. Ist es aber im besonderen 
doch der Fall, so heißt die Flächenkurve eine Krümmungskurve. 
In diesem Falle wird die Fläche der Normalen von Ebenen 
umhüllt (nach Nr. 281). Die durch einen Punkt M oder 
33 * [318, 319 
(4) • K