Full text: Differentialrechnung (1. Band)

516 
Kap. X. Flächenkurven und Flächenfämilien 
319] 
(x, y, z) der Krümmungskurve gehende Ebene muß erstens die 
Normale des Punktes und zweitens die Tangente der Krüm 
mungskurve enthalten. Um nun die Bedingungen für eine 
Krümmungskurve aufzustellen, denken wir uns x, y, z als Funk 
tionen einer Hilfsveränderlichen derart, daß die zugehörige 
Kurve auf der Fläche z = f(x, y) liegt. Deutet dann der Ak 
zent die Differentiation nach der Hilfsveränderlichen an, so 
sind x', y', z zu den Richtungskosinus der Tangente der Kurve 
proportional. Sind ferner X, Y, Z die Richtungskosinus der 
Flächennormale, so wird die Ebene durch die Normale und durch 
die Tangente der Krümmungskurve in M in den laufenden 
Koordinaten £, t), 5 dargestellt durch die Gleichung: 
(1) 
l-x 
X 
X 
^ — y 
V 
Y 
%-* 
z 
Z 
= 0. 
Hierin sind x, y, z und mithin auch x, y, z und X, Y } Z 
Funktionen der Hilfsveränderlichen, so daß zu jedem Werte 
der Hilfsveränderlichen eine Ebene gehört. Daher liegt eine 
Ebenenschar vor, und es ist zu fordern, daß die Charakteristi 
ken der von den Ebenen umhüllten Fläche Normalen der ge 
gebenen Fläche seien. Nach Nr. 278 wird die durch M gehende 
Charakteristik durch die Gleichung (1) und die aus ihr durch 
Differentiation nach der Hilfsveränderlichen hervorgehende Glei 
chung bestimmt. Die Differentiation der ersten Zeile in (1) 
gibt die zweite, abgesehen vom Minuszeichen; also wird die 
zweite Gleichung der Charakteristik: 
«¡4 
1 
1 
1 
5-0 
l — x 
y 
b — * 
x" y" z" 
+ 
x' 
V * 
X Y Z 
X' 
Y' 
Z' 
Beide Gleichungen sollen nun durch alle Punkte der Flächen 
normale, d. h. durch £ = #-f Xh, t) = y-f- Yh, $ = z-\- Zh erfüllt 
werden, wenn h beliebig ist. Dies ist mit der Gleichung (1) 
der Fall, so daß die Gleichung (2) allein die notwendige und 
hinreichende Bedingung für eine Krümmungskurve in der Form 
liefert:
	        
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