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Kap. X. Flächenkurven und Flächenfämilien
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(x, y, z) der Krümmungskurve gehende Ebene muß erstens die
Normale des Punktes und zweitens die Tangente der Krüm
mungskurve enthalten. Um nun die Bedingungen für eine
Krümmungskurve aufzustellen, denken wir uns x, y, z als Funk
tionen einer Hilfsveränderlichen derart, daß die zugehörige
Kurve auf der Fläche z = f(x, y) liegt. Deutet dann der Ak
zent die Differentiation nach der Hilfsveränderlichen an, so
sind x', y', z zu den Richtungskosinus der Tangente der Kurve
proportional. Sind ferner X, Y, Z die Richtungskosinus der
Flächennormale, so wird die Ebene durch die Normale und durch
die Tangente der Krümmungskurve in M in den laufenden
Koordinaten £, t), 5 dargestellt durch die Gleichung:
(1)
l-x
X
X
^ — y
V
Y
%-*
z
Z
= 0.
Hierin sind x, y, z und mithin auch x, y, z und X, Y } Z
Funktionen der Hilfsveränderlichen, so daß zu jedem Werte
der Hilfsveränderlichen eine Ebene gehört. Daher liegt eine
Ebenenschar vor, und es ist zu fordern, daß die Charakteristi
ken der von den Ebenen umhüllten Fläche Normalen der ge
gebenen Fläche seien. Nach Nr. 278 wird die durch M gehende
Charakteristik durch die Gleichung (1) und die aus ihr durch
Differentiation nach der Hilfsveränderlichen hervorgehende Glei
chung bestimmt. Die Differentiation der ersten Zeile in (1)
gibt die zweite, abgesehen vom Minuszeichen; also wird die
zweite Gleichung der Charakteristik:
«¡4
1
1
1
5-0
l — x
y
b — *
x" y" z"
+
x'
V *
X Y Z
X'
Y'
Z'
Beide Gleichungen sollen nun durch alle Punkte der Flächen
normale, d. h. durch £ = #-f Xh, t) = y-f- Yh, $ = z-\- Zh erfüllt
werden, wenn h beliebig ist. Dies ist mit der Gleichung (1)
der Fall, so daß die Gleichung (2) allein die notwendige und
hinreichende Bedingung für eine Krümmungskurve in der Form
liefert: