§ 3. Hauptkrümmungsradien und Kriimmungsmaß einer Fläche 517 
(3) 
x y z 
X Y Z 
= 0. 
X' T Z’ 
Die Flächennormale ist aber zur Tangente senkrecht, d. h.: 
Xx + Yy +Zz = 0. 
Aus den beiden letzten in x, y, z linearen Gleichungen folgt, 
daß sich x, y, z zueinander verhalten müssen wie drei Größen, 
von denen wir die erste angeben: 
(ZX'-XZ')Z-(X Y'-YX')Y, 
woraus die beiden anderen durch zyklische Vertauschung von 
X, Y, Z hervorgehen. Wenn zur ersten Größe X 2 X' addiert 
und dann X 2 X' davon wieder subtrahiert wird, kommt: 
(X 2 Y 2 + Z 2 )X'~ (XX'+ YY' + ZZ')X. 
Nun ist aber X 2 +Y 2 +Z 2 = 1 und also XX'+YY' + ZZ'=0, 
so daß die erste Größe einfach gleich X' wird. Also sind 
X 7 Y’ Z' 
X y' z 
die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für eine 
Krümmungskurve. Sie besagen, daß die Differentiale von X, 
Y, Z zu denen von x, y, z proportional sein müssen. 
Satz 13: Eine Flächenlcurve ist dann und nur dann eine 
Krümmungsliurve, wenn längs ihrer die Differentiale der Rieh- 
tungskosinus X, Y, Z der Flächennormale proportional zu den 
Differentialen der Koordinaten x, y, z sind. 
Man kann der Bedingung (3) noch verschiedene andere 
Formen geben: Es ist z=px + qy, ferner nach (10) in 
Nr. 253 auch X = —p :w, Y= — q:w und Z=l:tv, wenn w 
die positive Quadratwurzel aus p 2 -f- q 2 + 1 bedeutet. Daher 
wird (vgl. (3) in Nr. 318): 
X' = -y \(w x p — rw)x + (w y p - sw)y\, 
Y' = [(w x q - sw)x + (w y q - tw)y], 
z ' = - ^ [w x X + W y lj] . 
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