§ 3. Hanptkrümmungsradien und Krümmungsmaß einer Fläche 519 
Tangenten in M zueinander senkrecht sind. Die Krümmungs 
kurven bilden demnach ein Netz von orthogonalen Kurven. Über 
all halbieren die Tangenten der Kriimmungskurven die Winkel 
der Haupttangenten, vgl. Nr. 316. 
321. G-ratlinie der Fläche der Normalen längs 
einer Krümmungskurve. Wir nehmen wie in Nr. 319 an, 
eine Krümmungskurve der Fläche z = fix, y) sei dadurch dar- 
gestellt, daß für x, y, z Funktionen einer Hilfsveränderlichen 
gesetzt seien, die natürlich insbesondere der Flächengleichung 
genügen müssen. Wie immer seien X, Y, Z die Richtungs 
kosinus der positiven Normale eines Flächenpunktes M oder 
(x, y, z), und der Punkt M gehöre der Krümmungskurve an. 
Die Punkte (g, t), f) der Flächennormale von M sind dann 
durch 
(1) 5 = x -f- Xh, t) — y -j- Yh, § = z -f- Zh 
gegeben, wobei h die mit Vorzeichen gemessene Strecke von 
M bis zum Punkte (g, t), Ü bedeutet. Die Gratlinie derjenigen 
Fläche, die von den Normalen längs der Krümmungskurve ge 
bildet wird, hat diese Normalen zu Tangenten. Mithin muß 
sich auch die Gratlinie in der Form (1) in den laufenden 
Koordinaten g, t), j darstellen lassen, sobald h die richtige 
Funktion der Hilfsveränderlichen ist. Wir werden diese Funk 
tion so finden: Stellen wir sie uns unter- h in (1) vor, so sind 
g', t)', zu den Richtungskosinus der Tangente der Gratlinie 
proportional, wenn die Akzente die Differentiation nach der 
Hilfsveränderlichen andeuten. Diese Kosinus müssen anderer 
seits gleich X, Y, Z sein. Also ergibt sich aus (1): 
x' -f- X h-\-Xh =u X, y Y h -j- Yh =uY, z-\-Zh-{-Zh—uZ, 
wobei u einen noch unbekannten Faktor darstellt. Wegen 
X 2 +Y 2 +Z 2 =l ist aber XX'+ YY' + ZZ'= 0. Multipli 
zieren wir daher die drei Gleichungen mit X', Y', Z' und 
addieren sie dann, so ergibt sich eine von u und li freie Glei 
chung, aus der sich h berechnen läßt. Es kommt: 
x'X'+ y'T + ßZ' 
~X'*+Y'* + Z'' 
(2) 
Um die geometrische Bedeutung dieser Strecke h zu 
[330, 331