§ 3. Hauptkriimmimgsradien und Krümmungsmaß einer Fläche 523 
in M x zur Normale des Flächenpunktes M parallel sein. Die 
auf die Flächenkurve bezüglichen Elemente bezeichnen wir 
wie üblich, also z. B. mit a, ß, y die Richtungskosinus ihrer 
positiven Tangente. Die auf die Raumkurve bezüglichen 
Elemente unterscheiden wir von jenen durch den angehängten 
Index 1, so daß z. B. a x , ß X} y x die Richtungskosinus ihrer 
positiven Tangente sind. Bedeuten wie immer X, Y, Z die 
Richtungskosinus der positiven Normale des Flächenpunktes M, 
so ist zunächst nach Voraussetzung: 
(1) a x = X, ß x = Y, y x = Z. 
Nach den Frenetschen Formeln (4), (5), (6) in Nr. 272 kommt 
ferner: 
(2) 
dcc x = 
^ d ^ 
;C 
, 'ö 
II 
n x d 6 X ; 
(3) 
dl x = 
l x dt X} 
dp x = m x dx x , dv x = 
n x dx j; 
(4) 
\dl x = 
— a x d6 x 
— l x dx x , dm x - — ß x dö x - 
~M T i> 
1 
dn x = — y x d<3 x — v x dr x . 
Hiei 
• ist 
dö x 
der Kontingenz- und dx x der Torsionswinkel 
der 
Raumkurve 
, so daß 
sich nach (2), (1) und (3) und wegen 
l x -f m x 2 
+ V 
= 1 noch ergibt: 
(5) 
d<5 x 
= Yd 
cc x 2 -f- dß 
* + dy x 2 = YdX 2 + dY 2 - 
f dZ 2 , 
(6) 
dx x = 
Y dX 2 -f- d\i 2 -f- dv 2 . 
Die 
Wurzeln in (5) sind nach Nr. 260 positiv. 
Nun sei co der Winkel zwischen der positiven Tangente 
der Flächenkurve und der positiven Hauptnormale der Raum 
kurve (natürlich an entsprechenden Stellen). Ferner sei 0 der 
Winkel zwischen der positiven Flächennormale und der posi 
tiven Hauptnormale der Flächenkurve. Es sind zwei be 
gleitende rechtwinklige Dreikante vorhanden, das des Punktes M 
der Flächenkurve und das des entsprechenden Punktes M x der 
Raumkurve. Legen wir beide mit den Punkten M und M x 
zusammen, ohne ihre Richtungen zu ändern, so kommt die erste 
Kante des zweiten Dreikants, nämlich die Tangente von M x , 
in die Ebene der Haupt- und Binormale des ersten Dreikants, 
da die Tangente von M x zur Flächennormale von M parallel 
[323