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Kap. X. Flächenkurven und Flächeniamilien
ist die Flächenkurve dann und nur dann eine Krümmungs
kurve, wenn ihre Tangente zur Hauptnonnale der zugehörigen
Raumkurve parallel liegt. Folglich ist sin ca = 0 die not
wendige und hinreichende Bedingung für eine Krümmungs
kurve. Nach (13) in Nr. 323 verschwindet sin ca unter der
Annahme cos 6 =)= 0 dann und nur dann, wenn dr = dd ist.
Im Falle cos0 = O folgt dt = 0, d. h. dann ist die Kurve nach
Satz 6 von Nr. 275 eben. Demnach geht der Satz von Laueret
hervor:
Satz 17: Eine nicht ebene Flächenkurve ist dann und nur
dann eine Krümmungskurve, wenn ihr Torsionswinkel gleich dem
Differential desjenigen Winkels ist, den die Flächennormale mit
der Hauptnormale der Kurve bildet. ^
Ist die Kurve eben, also dr = 0, so folgt aus sin ca = 0
und aus (12) in Nr. 323 noch dO = 0. Daher gilt der Satz
von Joachimsthal:
Satz 18: Eine Ebene schneidet eine Fläche dann und nur
dann in einer Krümmungskurve, ivenn die Ebene der Kurve die
Fläche überall unter demselben Winkel trifft.
Denn in diesem Falle ist die Hauptnormale der Kurve in
der Ebene gelegen; der Winkel der Ebene mit der Tangenten
ebene der Fläche wird daher das Komplement von 6.
Wenn die Flächenkurve eine Krümmungskurve ist, bilden
die Normalen der Fläche längs der Kurve nach der Definition
in Nr. 319 eine Tangentenfiäche und sind daher die Tangenten
der Gratlinie dieser Fläche. Mithin kann jetzt unter der in
voriger Nummer eifigeführten Baumkurve diese Gratlinie ver
standen werden.
Ist die Krümmungskurve eben, so folgt noch aus (10)
und (11) in voriger Nummer, daß dr 1 :d6 1 = + tg 9, also kon
stant sein muß, weil ja 0, wie wir sahen, konstant ist. Bei
der Gratlinie bedeutet aber dr 1 :ds l , weil ds l ihr Bogen
differential vorstellt, die Torsion und dö l :ds 1 die Krümmung.
Mithin wird das Verhältnis aus Krümmung und Torsion
bei der Gratlinie konstant. Nach Satz 16 von Nr. 296 folgt
somit:
Satz 19: Die Normalen einer Fläche längs einer ebenen
Krümmungskurve sind die Tangenten einer Schraubenlinie.
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