§ 3. Hauptkrümmungsradien und Krümmungsmaß einer Fläche 527
325. Bedingung dafür, daß die Schnittkurve zweier
Flächen eine Krümmungskurve ist. Zwei Flächen mögen
sich in einer Kurve schneiden. Diese Kurve ist dann in
doppelter Weise eine Flächenkurve. Wir behalten die üblichen
Bezeichnungen für die Auffassung der Schnittkurve als Kurve
der ersten Fläche hei, während wir zur Unterscheidung bei
der Auffassung der Schnittkurve als Kurve der zweiten Fläche
den Index 1 hinzufügen wollen. Nach (13) in Nr. 323 ist alsdann:
dt — dB -f- cosö tgß3C?ö = dd l -\- cos 6 1 tgco^tf,
d. h.:
(1) d(ß — Bf) = (cos^ tgc^ — cosö tga>)do.
Nach der Definition in Nr. 323 sind 8 und B x die Winkel,
die von der positiven Hauptnormale der Schnittkurve mit den
positiven Normalen der beiden Flächen gebildet werden. Alle
drei Geraden liegen in der Normalebene der Schnittkurve.
Daher bedeutet B — B x den Winkel, den die beiden Flächen
normalen miteinander in einem Punkte der Schnittkurve bilden.
Ist nun die Schnittkurve auf beiden Flächen eine Krümmungs
kurve, so wird nach Nr. 324 sowohl sin a als auch sin C3 X
gleich Null, mithin d{8 — Bf) = 0, also 0 — 6 X konstant. Hier
aus folgt der Satz von Bonnet:
Satz 20: Ist die Schnittkurve zweier Flächen auf leiden
Flächen eine Krümmungslcurve, so schneiden sich die Flächen
längs der Kurve unter einem konstanten Winkel.
Umgekehrt: Die Schnittkurve sei auf der zweiten Fläche
eine Krümmungskurve, und außerdem mögen sich die Kurven
unter einem konstanten Winkel schneiden. Alsdann ist
sin ö 1 = 0 und d(ß — Bf) = 0, so daß aus (1) folgt, daß
cosötgm = 0 sein muß. Im Falle cos 0 + 0 wird also sinco = 0,
d. h. die Kurve muß auch auf der ersten Fläche eine Krüm
mungskurve sein. Im Falle cos 0 = 0 versagt zwar dieser
Schluß. Wir werden aber in der nächsten Nummer sehen, daß
auch dann stets die Folgerung gilt:
Satz 21: Schneiden sich zwei Flächen längs einer Kurve
unter einem konstanten Winkel und ist die Schnittkurve auf der
einen Fläche eine Krümmungskurve, so ist sie es auch auf der
andern.
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