CP vV ^T^jP 2 H~ 2 2 “t - 1 y^i 2 + 2i 2 + 1 
Eine entsprechende Formel ergibt sieb, wenn p, q, p' } q mit 
Pd QuPi) Qi un d P, Q mit P l7 Q 1 vertauscht werden. Durch 
Addition beider Formeln geht hervor: 
(;b) (cos cp \ l V^-|-P-i D'* 1 V+9P+ 1 
Nach (2) sind nun wegen (5) in Nr. 319: 
(4) (Q — P)P Q — 0 uud (Q t - PJptä = 0 
die Bedingungen dafür, daß die Schnittkurve auf der einen 
oder andern Fläche eine Krümmungskurve ist. Fügen wir 
noch die Gleichung hinzu, die aussagt, wann der Winkel cp 
konstant ist: 
(5) (cos cp)' — 0, 
so lehrt die Formel (3), daß zwei der drei Bedingungen (4) 
und (5) jedesmal die dritte nach sich ziehen, womit die 
Sätze 20 und 21 der vorigen Nummer von neuem bewiesen 
sind. Dabei ist nur noch zu bemerken, daß die in (3) auf 
tretende Größe k, die ja die drei gleichen Brüche (1) darstellt, 
nur dann verschwindet, wenn die Schnittkurve eine Gerade 
ist, in welchem Falle wir den Satz 18 von Nr. 324 heranziehen 
können, indem wir durch die Gerade eine Ebene legen. 
§ 4. Dreifache orthogonale Fläehensysteine. 
327, Begriff eines dreifachen Flächensystems. 
Werden drei Funktionen cp, %, i}> von x, y, z drei willkürlichen 
Konstanten X, y, v gleichgesetzt: 
(1) cp(x,y,z) = X, %(x,y,z) = y, ^(x,y,z) = v, 
so stellt jede einzelne Gleichung eine Flächenschar dar. Wir 
setzen voraus, daß diejenigen drei Flächen, die sich ergeben, 
wenn wir X, y, v drei bestimmte Werte — innerhalb eines ge 
wissen Yariabilitätsbereiches — beilegen, einen Schnittpunkt 
(x, y, z) haben, die drei Gleichungen (1) also nach x, y, z 
Serret-Scheffers, Diff.- u.Integr.-Rechn. I. 6. u. 7. Aufl.