530 
Kap. X. Flächenknrven und Flächenfamilien 
auflösbar seien: 
(2) x=®{l,g,v), y=X(X,g,v), z = ^(A, g, v) 
Nach Satz 3 von Nr. 79 setzen wir also voraus, daß die drei 
Funktionen cp, %, if> voneinander unabhängig seien. Man sagt 
alsdann, daß die Gleichungen (1) ein sogenanntes dreifaches 
Flächensystem definieren. 
In (2) bedeuten X, W die zu den drei Funktionen (1) 
inversen Funktionen (vgl. Nr. 81). Die rechtwinkligen Koordi 
naten eines beliebigen Punktes (x, y, z) des Raumes sind nun 
innerhalb eines gewissen Bereiches durch (2) mittels der drei 
veränderlichen Größen A, g, v ausgedrückt. Ein Beispiel 
hierzu ist die Art, wie man die rechtwinkligen Koordinaten 
x, y, z durch räumliche Polarkoordinaten r, 6, ip ausdriicken 
kann, vgl. (7) in Nr. 251. Wenn drei nach A, g, v auflösbare 
Gleichungen (2) vorliegen, sagt man, daß die rechtwinkligen 
Koordinaten x, y, z als Funktionen krummliniger Koordinaten 
A, g, v dargestellt seien. Während nämlich je zwei der drei 
Gleichungen x = konst., y = konst., z = konst. zusammen 
eine gerade Linie definieren, wird durch je zwei der drei Glei 
chungen A = konst., g — konst., v = konst. nach (1) eine 
krumme Linie, nämlich die Schnittlinie von zwei Flächen der 
drei Scharen, gegeben. 
Wenn wir nun etwa den Größen g und v bestimmte 
Werte beilegen, aber A veränderlich lassen, stellen die Glei 
chungen (2) die Punkte (x, y, z) der Schnittlinie zweier Flächen 
g = konst. und v = konst. des Systems (1) dar, ausgedrückt 
mittels der Hilfsveränderlichen A. Daher sind nach Nr. 252 die 
Ableitungen x x , y x , z x der drei Funktionen (2) proportional zu 
den Richtungskosinus der Tangente dieser Schnittkurve. 
Wenn wir in der Folge von den drei Funktionen x, y, z 
oder von den drei Funktionen A, g, v sprechen, so meinen wir 
damit die drei Funktionen (2) von A, g, v bzw. die drei Funk 
tionen (1) von x, y, z. 
328. Dreifaches orthogonales Flächensystem. Be 
deuten wie vorher x, y, z voneinander unabhängige Funktionen 
von A, g, v und umgekehrt A, g, v die dazu inversen Funktionen 
von x, y, z, so heißt das dadurch definierte dreifache Flächen- 
387, 388]