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Kap. X. Flächenkurven und Flächenfamilien
Bedingungen her Vorgehen. Nach den beiden ersten Glei
chungen (1) der vorigen Nummer ist nämlich zunächst:
(1) -STv^. ~ lyPz l'Py> K-Vy — l z y x l x Pz) R-V. IxPy lyPx)
wobei K eine gewisse Funktion von x, y, z bedeutet; und
hiernach gelten auch die Formeln:
/dKv
i y
dKv x
II
H
V!^
>!
1
V 1' K ,
x z y>
\ dz
dy )
i dKv
1 *
dKv \
1 = v y v t K r -
V y V .r K z,
\ dx
dz )
/dKv
1
dKv \
y )
1 = V t V x K y -
V z V y K x-
V dy
dx )
Addieren wir alle drei Gleichungen, so geht rechts Null her
vor. Setzen wir außerdem die Werte von Kv x , Kv y , Kv. aus
(1) auf der linken Seite ein, so kommt:
'KKk-W
di X u — X u )
\ x‘ y y x!
L dz
dy -1
~ d (KPy-Vx)
c (X U X LI Y
V y z z 1 y /
dx
dz J
~ d ( l A- l zPy)
d {\p x -K^tT\
L dy
dx ->
+ v y
+ v »
Führen wir die Differentiationen aus und addieren wir noch
die beiden ersten Gleichungen (1) der vorigen Nummer, nach
dem sie zuvor mit
lXX ^yy l.z bzw. (l rx -f- [l„y -f- y ;t
multipliziert worden sind, so folgt:
| V x(KPxx “F lypxy "F l z pxz Px^xx Py P.lxz)
00 | + Vy^x^xy + l y P y y + l,y yz — y x X Ty — y y X yy — y. X y: )
' + v z (l*P„ + ly y yz + K y„ — y x Kz - P y ly. - y : l z: ) = 0.
Um hieraus die Ableitungen zweiter Ordnung von y zu ent
fernen, differenzieren wir zunächst die dritte Gleichung (11
der vorigen Nummer nach x, nach y und nach g f wodurch
sich ergibt:
IxPxx + lyPxy + l.y xi = — y x l xx — PyKy ~~ P.lx»
IxPxy + lypyy + l z y yt = — y x l X y ~ Pylyy ~ Pt ly'}
Ix Pxz + ly Pyz + l : Ptt = — Px Ix: — Pyly: ~ P: X :: •
3S9]