Full text: Differentialrechnung (1. Band)

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Kap. X. Flächenkurven und Flächenfamilien 
Bedingungen her Vorgehen. Nach den beiden ersten Glei 
chungen (1) der vorigen Nummer ist nämlich zunächst: 
(1) -STv^. ~ lyPz l'Py> K-Vy — l z y x l x Pz) R-V. IxPy lyPx) 
wobei K eine gewisse Funktion von x, y, z bedeutet; und 
hiernach gelten auch die Formeln: 
/dKv 
i y 
dKv x 
II 
H 
V!^ 
>! 
1 
V 1' K , 
x z y> 
\ dz 
dy ) 
i dKv 
1 * 
dKv \ 
1 = v y v t K r - 
V y V .r K z, 
\ dx 
dz ) 
/dKv 
1 
dKv \ 
y ) 
1 = V t V x K y - 
V z V y K x- 
V dy 
dx ) 
Addieren wir alle drei Gleichungen, so geht rechts Null her 
vor. Setzen wir außerdem die Werte von Kv x , Kv y , Kv. aus 
(1) auf der linken Seite ein, so kommt: 
'KKk-W 
di X u — X u ) 
\ x‘ y y x! 
L dz 
dy -1 
~ d (KPy-Vx) 
c (X U X LI Y 
V y z z 1 y / 
dx 
dz J 
~ d ( l A- l zPy) 
d {\p x -K^tT\ 
L dy 
dx -> 
+ v y 
+ v » 
Führen wir die Differentiationen aus und addieren wir noch 
die beiden ersten Gleichungen (1) der vorigen Nummer, nach 
dem sie zuvor mit 
lXX ^yy l.z bzw. (l rx -f- [l„y -f- y ;t 
multipliziert worden sind, so folgt: 
| V x(KPxx “F lypxy "F l z pxz Px^xx Py P.lxz) 
00 | + Vy^x^xy + l y P y y + l,y yz — y x X Ty — y y X yy — y. X y: ) 
' + v z (l*P„ + ly y yz + K y„ — y x Kz - P y ly. - y : l z: ) = 0. 
Um hieraus die Ableitungen zweiter Ordnung von y zu ent 
fernen, differenzieren wir zunächst die dritte Gleichung (11 
der vorigen Nummer nach x, nach y und nach g f wodurch 
sich ergibt: 
IxPxx + lyPxy + l.y xi = — y x l xx — PyKy ~~ P.lx» 
IxPxy + lypyy + l z y yt = — y x l X y ~ Pylyy ~ Pt ly'} 
Ix Pxz + ly Pyz + l : Ptt = — Px Ix: — Pyly: ~ P: X :: • 
3S9]
	        
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