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Kap. X'. Flächenkurven und Fläckenfamilien
Da %, 33, (£ Funktionen der Ableitungen erster und zweiter
Ordnung von A allein sind, enthält diese Gleichung nur die
Ableitungen erster bis dritter Ordnung von A. Übrigens heben
sich, wie ihre Ausrechnung lehren würde, nicht etwa alle Glieder
links gegenseitig fort. Eine Gleichung nun, die außer mehreren
unabhängigen Veränderlichen — hier x, y, z — eine Funktion
A und ihre partiellen Ableitungen bis zur w ten Ordnung ent
hält, heißt eine partielle Differentialgleichung n ter Ordnung für
die Funktion A. Hier liegt eine von der dritten Ordnung vor,
so daß sich der Satz ergibt:
Satz 24: Gehört eine Flächenschar X(x, y, z) =■= honst,
einem dreifachen orthogonalen System an, so genügt die Funk
tion X einer gewissen partiellen Differentialgleichung dritter Ord
nung, die von x, y, z und A selbst frei ist.
330. Ableitung der Orthogonalitäts- Bedingungen
der einen Art aus denen der anderen Art. Aus den
in Nr. 328 angegebenen Orthogonalitäts-Bedingungen (1) lassen
sich, wie schon angekündigt wurde, die sie ersetzenden Be
dingungen (2) auch rechnerisch ableiten. Es sind ja x, y, z
Funktionen von A, g, v, die ihrerseits wieder die dazu inversen
Funktionen von x, y, z bedeuten, so daß z. B. x ausgedrückt
durch A, g, v, eine zusammengesetzte Funktion von x, y, z ist
(vgl. Nr. 41, 42). In dieser Weise aufgefaßt, sind die Ab
leitungen von x nach x, y, z gleich 1, 0, 0. Somit ergibt sich:
X lK + X n Pz + X y V x = 1, X ).Kj + x ^ y + x x v y = 0,
X xK + X pP, + X r V z = 0.
Multiplizieren wir diese drei Gleichungen bzw. mit A x , A y , A,
oder g x , g y , g. oder v x , v y , v z und addieren sie dann jedes
mal, so ergeben sich wegen der Orthogonalitäts-Bedingungen (1)
in Nr. 328 drei Gleichungen, zu denen wir sogleich die ent
sprechenden Gleichungen für die Ableitungen nach y und z
hinzufügen können:
K = L*oc x , g x = M*x fl , v x = N*x„
(1)
K = L2 Vx, = №y H , Vy = N*y v ,
K = L*z x , g z = Ji 2 ^, V, = N*z,..
Hierin ist zur Abkürzung gesetzt worden:
3»9, 330]
