§ 4. Dreifache orthogonale Flächensysteme 
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(2) v+V+V-i’. «'/+V+ v /= JV2 - 
Um nun noch L 2 , fff 2 , N 2 durch die Ableitungen von x, y, z 
nach A, t u, v auszudrücken, quadrieren wir die Gleichungen (1) 
und addieren dann jedesmal die drei untereinander stehenden 
Gleichungen. Alsdann geht wegen der in (2) angegebenen Be 
deutung von X 2 , Jf 2 , IV 2 sofort hervor: 
(3) -i-^xf+yf+z*, L=x *+y *+z * 4-av a + 
Setzen wir diese Werte in (1) ein, so werden die Ableitungen 
von A, y, v nach x, y, z durch die von x, y, z nach A, y, v 
ausgedrückt. Umgekehrt geben die Gleichungen (1) auch so 
fort die Ableitungen von x, y, z nach A, y, v, ausgedrückt 
durch die von A, y, v nach x, y, z. 
Werden die Werte (1) in die Orthogonalitäts-Bedingungen 
(1) von Nr. 328 eingeführt, so gehen die Orthogonalitäts - Be 
dingungen (2) von Nr. 328 hervor. 
331. Ableitungen zweiter Ordnung der Koordinaten 
in einem dreifachen orthogonalen System. Differenzieren 
wir die Orthogonalitäts-Bedingungen (2) von Nr. 328 bzw. nach 
A, y, v und subtrahieren wir von der Summe der hervorgehen 
den beiden letzten Gleichungen die erste, so folgt: 
+ yxVp v + *x* ß * = °- 
Differenzieren wir die zweite Gleichung (3) der vorigen Nummer 
nach v und die dritte nach y, so kommt: 
i i M v . . Nß 
V + V^Juv + ^-W’ + y^v + V = ~ w*' 
Werden die gewonnenen drei Gleichungen bzw.. mit l x , y x , v x 
multipliziert und darauf addiert, so bekommen x , y^ tr , z flv 
Koeffizienten, die offenbar nichts anderes als dx : dx, cy : dx, 
dz : dx, d. h. als 1, 0, 0 sind, so daß mithin links nur x /iv auf- 
tritt. Rechts setzen wir für y x und v x ihre Werte aus den 
Gleichungen (1) der vorigen Nummer ein. Dann geht eine 
Formel für x hervor. Wir geben außerdem sogleich die ent 
sprechenden Formeln für y und z flv an: 
[330, 331