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Kap. X. Flächenkurven und Flächenfamilien 
(1) 
Sie lassen sich auch so schreiben: 
(2) 
dMxp dMyp dMzp 
dv dv dv M ß. 
~ ~~Vv v A 
Entsprechende Formeln gehen aus (1) und (2) hervor, wenn 
gleichzeitig X, y, v und L, M, N zyklisch vertauscht werden. 
332. Der Dupinsche Satz über dreifache orthogo 
nale Systeme. Die letzten Formeln haben eine schöne geo 
metrische Bedeutung: 
Werden für X und g konstante Werte gewählt, während v 
veränderlich bleibt, so beschreibt der Punkt (cc, y, z) nach 
Nr. 327 die Schnittkurve zweier Flächen X = konst. und 
u = konst. des Systems; längs der Kurve ist v die unab 
hängige Veränderliche, und die Richtungskosinus der Kurven 
tangente verhalten sich zueinander wie x Y , y v} z Y . Die Rich 
tungskosinus X, Y, Z der Normale der Fläche y = konst. 
im Punkte (x, y, z) sind proportional zu y x , fi , y t und also 
wegen der zweiten Formel (2) von Nr. 330 gleich y x : M, 
fi : M, y z : M, somit nach den Formeln der zweiten Reihe in 
(1), Nr. 330, gleich Mx fl , MyMz fi . Daher besagen die 
Gleichungen (2) der vorigen Nummer, wenn wir von dem letzten 
Gliede absehen, daß längs jener Schnittkurve, längs deren v die 
unabhängige Veränderliche vorstellt, 
ist. Dies bedeutet nach Satz 13 von Nr. 319, daß die Schnitt 
kurve eine Krümmungskurve der Fläche y = konst. ist. Ebenso 
folgt aus den Gleichungen, die den Formeln (2) in voriger 
Nummer entsprechend zu bilden sind, daß die Kurve eine 
Krümmungskurve der Fläche X = konst. ist. Wir gelangen so 
mit zu dem Satze von Dupin: