§ 4. Dreifache orthogonale Flächensysteme 
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Satz 25: In einem dreifachen orthogonalen Flächensystem 
wird jede Fläche einer Schar von allen Flächen der leiden 
anderen Scharen in Krümmungskurven geschnitten. 
333. Elliptische Koordinaten. Ein besonders wich 
tiges System von krummlinigen Koordinaten (vgl. Nr. 327) 
sind die elliptischen. Darunter verstellt man die drei Wurzeln 
A, g, v der für a kubischen Gleichung-, 
_z L _ 
a 2 — a ' ö 2 
+ 
1, 
c 2 gegebene positive Konstanten bedeuten und 
(1) 
in der a 2 , 
etwa a 2 > b 2 > c 2 sein möge. Die kubische Gleichung läßt sich 
auch so schreiben: 
x 2 (b 2 — «) (c 2 — ß) -f- y 2 (c 2 — ß) (a 2 — ß) -f- z 2 (a 2 — ß) (b 2 — ß) 
— {a 2 — ß) (b 2 — ß) (c 2 — ß) = 0. 
Hier steht links eine ganze rationale Funktion dritten Grades 
von ß, die mit a zugleich nach -f- oo oder — oo strebt, während 
sie für ß = c 2 positiv, für a = & 2 negativ und für ß = a 2 positiv 
ist, so daß die Gleichung nach Satz 5 von Nr. 21 drei reelle 
Wurzeln A, g, v hat, die so liegen, wie es die Ungleichungen 
angeben: 
(2) A < c 2 < g < b 2 < v < a 2 . 
Die drei Gleichungen, die aus (1) hervorgehen, wenn darin 
für ß drei Werte A, g, v gesetzt werden, die den Unglei 
chungen (2) genügen, lassen sich, da sie in x 2 , y 2 , z 2 linear 
sind, ohne Mühe nach x 2 , y 2 , z 2 auflösen. Insbesondere er 
gibt sich: 
(3) 
x‘ = 
(a 2 — il) (a 2 — g,) (a 2 — v) 
(a 2 — b 2 ) (a 2 — e 2 ) ’ 
woraus die Werte von y 2 und z 2 durch zyklische Vertauschung 
von a, b, c hervorgehen. Man sieht überdies, daß alle drei 
Werte positiv sind, sobald man die Bedingungen (2) berück 
sichtigt. Mithin ergeben sich für x, y, z drei Funktionen von 
A, g, v, wobei A, g, v die durch (2) vorgeschriebenen Varia 
bilitätsbereiche haben Wir kommen also zu Gleichungen, die 
sich der allgemeinen Form (2) in Nr. 327 unterordnen, d. h. 
wir gelangen zu einem dreifachen Flächensystem. Wenn ins- 
[332, 333 
f i J-, r /- 'v V