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§ 1. Der Zusammenhang zwischen den Eulerschen Integralen. 197 
Dies aber tun sie in der Tat. Der Integrand von jB(p, q) 
kann nämlich nur an den Grenzen unstetig sein, und zwar ist 
er es an der Grenze x — 0, wenn p < 1 ist, und an der Grenze 
x — 1, wenn g< 1 ist. Aber im Falle q < 1 wird (1—x) q ~ l 
für lim x — 1 von niedrigerer Ordnung unendlich groß als 
1 : (1—#), so daß hier die Konvergenz nach Satz 11, Nr. 471, 
verbürgt ist. Im Falle p < 1 ferner wird x p ~ r für lim# = 0 
von niedrigerer Ordnung unendlich als 1 : x, so daß hier 
dasselbe gilt, vgl. Satz 12, Nr. 473. Was nun r(p) betrifft, 
so wird der Integrand an der unteren Grenze x = 0 nur für 
p < 1 unstetig, jedoch wieder in niedrigerer Ordnung als 1 : x. 
Es ist also nur noch die Konvergenz von r(p) für die obere 
Grenze lim x = + oo zu beweisen. Ist p <i 1, so verschwindet 
der Integrand von offenbar für lim# = -f- oo; ist p > 1, 
so gilt dasselbe nach dem 4. Beispiele in Nr. 131. Zugleich 
sieht man, daß der Integrand für lim x — -j- oo in höherer 
als erster Ordnung mit 1 : x verschwindet. Also steht die 
Konvergenz nach Satz 4, Nr. 466, fest. 
Machen wir in B(p, q) die Substitution x = z : (1 -{- z) und 
bezeichnen wir alsdann die neue Veränderliche z mit x, so 
bekommen wir: 
+ < 
(2) 
Wenn wir das letzte Integral vermöge der Substitution x — 1: z 
umformen, alsdann darin s mit x bezeichnen und die Grenzen 
vertauschen, finden wir, da dann beide Integrale rechts von 
0 bis 1 erstreckt sind und sich vereinigen lassen: 
Hier tritt zu Tage, daß stets die Formel gilt: 
( 4 ) B(JP, i) = S(q,p). 
Man hätte dies auch aus der ursprünglichen Form von B(jp, q) 
mittels der Substitution x — 1 — z erkennen können. 
497. Zurückführung der Eulerschen Integrale erster 
CJ-attung auf die Gammafunktion. Wir wollen zeigen, wie 
[490, 497