§ 1. Der Zusammenhang zwischen den Eulerschen Integralen. 199 
498. Zusammenhang zwischen der Gammafunktion 
und den Fakultäten. Teilweise Integration gibt 
+ «> 
e~ x x p ~ x dx = 
o 
Für p > 1 ist der erste Ausdruck rechts gleich Null, so daß 
nach (1) in Nr. 496 hervorgeht: 
r(p) = (p - 1) r(p -1) (für p > 1). 
(1) 
Aus dieser Rekursionsformel folgt, wenn n eine positive ganze 
Zahl bedeutet, die kleiner als p ist: 
(2) r(p) = (p — 1) (p — 2) • • • (p — n) r(p - n). 
Bedeutet n insbesondere die größte ganze Zahl, die kleiner als 
p ist, so folgt, daß die Werte der Gammafanktion sämtlich 
bekannt sind, sobald sie in dem Bereiche 0 < p 1 berechnet 
worden sind. Insbesondere ist nach der Definition (1) in Nr. 496 
der Wert .T(l) = 1. Wenn also p selbst eine ganze Zahl m 
ist, gibt (2) für n = m — 1: 
r(m) = 1 • 2 • 3 • • • (m - 1) = (m - 1)!, 
was wir übrigens schon in (3), Nr. 492, fanden. Die Gamma 
funktion r(p) ist also als eine Verallgemeinerung der Fakultät 
(j) — 1)! für nicht ganzzahliges positives p zu bezeichnen. 
499. Die Produkte p) 2^(1 —p) und r(p) r(p -f ~). 
Nehmen wir p in (5), Nr. 497, kleiner als Eins an, so können 
wir 3 = 1 —p setzen, weil dann auch 1 — p positiv ist Da 
ferner jT(1) == 1 ist, kommt nach (2) in Nr. 496: 
r(p) r(l - p) - B{p, 1-p) -Jdx, 
0 
also nach der Formel (4) in Nr. 479, die, wie dort bewiesen 
wurde, für 0 < 1 stets gilt: 
mni-p) - Sn ~ cf»» o<p<n 
(i) 
Liegt p zwischen und 1, so ist 1 —p zwischen 0 und f ent 
halten. Also sind die Werte von F{p') für 0<Cjp<Cl sämt 
lich bekannt, sobald sie für 0 < p <1 4 berechnet worden sind. 
[498, 499