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Kap. IV. Theorie der Eulerschen Integrale. 
502. Darstellung von ln r(x) durch eine unendliche 
Reihe. Wir wollen die letzte Formel nach x differenzieren. 
Dies darf rechts unterhalb des Integralzeichens geschehen, 
wenn das hervorgehende Integral konvergiert. Es würde sich 
so ergeben: 
(1) 
d ln r{x) 
dx 
Daß aber dies Integral konvergiert, folgt daraus, daß der 
Integrand für lim«/ = 0 gleich x — •§- wird und für lim y =oo 
in höherer Ordnung als 1 :y verschwindet. Mithin ist die soeben 
aufgestellte Gleichung richtig. 
Nun ist nach (2) in Nr. 497, wenn wir darin p — 1, also 
jr(p) = 1, ferner m — 1 -f- ft bzw. x + ft und z == y setzen: 
+ 00 +00 
0 0 
vorausgesetzt, daß 1 + ft > 0 bzw. x + ft > 0 ist. Hieraus folgt: 
4-oo 
1 -\- Je x-\- 
Setzen wir hierin ft = 0, 1, 2, • • • n — 1 und subtrahieren wir 
alle n hervorgehenden Gleichungen von der Gleichung (1), in 
dem wir rechts alle Integrale unter ein gemeinsames Zeichen 
bringen, so finden wir: 
d ln r(x) 
dx 
—-6 
+ № 
■m 
4- 1/ \n x-{- 
e -(n + l)y e ~(n+x)y e -y" 
dy. 
Bezeichnet y den mit — 1 multiplizierten Wert der Ab 
leitung von ln r(x) für x = 1, d. h. wird nach (1) unter y 
die Konstante 
+ » 
(2) 
50»]