§ 5. Fortgesetzte Betrachtung der Gannnafunktion. 
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dings etwas umständlich ist, noch als Anhang zu dem gegen 
wärtigen Kapitel ableiten. 
Die Bernoullischen Zahlen sind die Koeffizienten in der 
Reihenentwicklung (6) von Nr. 521; und dieser Entwicklung 
können wir, indem wir a = — z setzen, die Form geben: 
1 „ 
2 
x 11 . JB 2 JB 4 3 B a 
(!) — -T-s+lf*- 4i^+ et* 
Sie konvergiert für jedes komplexe z } dessen absoluter Betrag 
kleiner als 2% ist. Nun ist aber: 
Ersetzen wir hier die rechts stehenden Brüche durch die Reihe (1) 
und durch diejenige Reihe, die aus (1) hervorgeht, wenn 2z 
statt z geschrieben wird, so kommt für j ^ j < tt : 
^ 1 1 (2, (2«-l)B 4 z* (2«-l)2? 6 s 6 , 
1! 
3! 
5! 
*4-1 
Dies ist die Maclaurinsche Reihe für 1 : (e 3 -f- 1), und daher 
muß ihr allgemeiner Koeffizient 
«2ti 1 r .72*-l 
(3) 
C_ x>——- 1 - B = — L_ 
‘ ' 2 ” Idz 271 - 1 e ~'-j-l_Uo 
Ldz* n ~ l tf+ 
sein, nach Satz 24, Nr. 116. 
Wir gehen deshalb darauf aus, die rechts stehende Ab 
leitung zu berechnen. Zunächst ist: 
(4) A -~ e * 
' ' <**e*+l (e*-fl) 2 ’ 
und man sieht leicht, daß allgemein für den (2n—1)^“ Diffe 
rentialquotienten eine Formel 
d 
2n- 1 
in — 1 
Ä t e (8n-l)» + J se (2n-8>,_|_ . . . Aan-tS 
(c 2 +lf 
(5) 
\ / 7 /4 — X. Z \ 1 
dz 6 + 1 
hervorgeht, worin A x , A 27 . . . A 2n _ 1 von dem Index n ab 
hängige Konstanten bedeuten. Aus (4) sieht man ferner, daß 
sich die erste Ableitung nicht ändert, wenn z durch —z ersetzt 
wird, d. h. daß sie eine gerade Funktion von z ist (vgl. Nr. 467). 
Wenn aber f{z) eine gerade Funktion von z, d. h. /’(^)=/’(—z) 
ist, folgt durch zweimalige Differentiation, daß auch ihre zweite 
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