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§ 5. Fortgesetzte Betrachtung der Gammafunktion. 263 
2n(2n 1) gyn-2 
A t — (— 1)* [i** “ ‘ (i — 1)’* “ 1 
1 • 2 
, / 1 \*-l 2w(2n —l)---(2n —fc + 2)~| 
l ) 1-2-■■ (Je —1) J 
Nach. (3) und (6) ist aber: 
o* w 1 
A ~t~ -dg -[ f~ -d„_i -f- k -d n _ 
v -1. ’ 
2 n “" 2 
mithin erhalten wir zur Berechnung der Bernoullischen Zahl B 2n 
die folgende Formel: 
(o in 1V- 1 
(-1)»^- B,.- 
- l + ^ 2 2 »- 1 + 2№( ^-. 1) ] + .. 
+(-l)”-‘ [(• -1) 2 “- 1 - r («-2) 2 ' , - 1 +-+ 
Rechts treten die (2n — l) teu Potenzen von n, n — 1, w— 2 usw. 
auf. Ordnet man die Summe nach ihnen, so geht hervor: 
(2 2ft — l)2 2ra_1 p 
2n -« 
_ 1 »3—1_ [i + 1 15](„ _ 1)3-1 
+ [l + ^ + i 2 eM](„-2)>- 
[1 + T 
2« 2n(2n— 1) , 2n(2n—1) (2n — 2) 
1-2 
+ 
1-2-3 
J (n — 3) 2n-1 
,, 1>+l fi t^j_ 2w(2w —1) , 2n(2n—l)-(w+3) x 2n(2w—l)-(n+2)1 
Tt J-J |_ i- r 1 "* 1-2 i ^ l-2--(n —2) _1_2 1 •2 • •(n — 1) J 
Dies ist die gesuchte independente Darstellung der Bernoulli 
schen Zahl B 2n . Die rechte Seite wird durch Multiplikation 
mit 2 eine ganze Zahl. Folglich ist 
(2 2n — 1) 2 2ß_1 Ji 2n 
ein ganzes Vielfaches von n. 
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