§ 1. Quadratur ebener Kurven,
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zwischen einer Kurve und Seime, also die eines Kwrven-
segmentes hervor.
531. Ersatz der Plächengrenze durch eine ange
näherte Grenze. In Nr. 409 wurde die von x Q bis X er
streckte Fläche der Kurve y = fix) in der Weise definiert,
daß die Kurve zunächst durch einen noch in gewissem Maße
willkürlichen treppenförmigen Linienzug ersetzt wurde, so daß
eine nur geradlinig begrenzte Fläche vorlag. Der treppen
förmige Zug hatte dabei die Eigenschaft, beim Übergänge zu
lim n = oo nach der wahren Begrenzung hinzustreben oder, wie
wir auch sagen, nach ihr zu konvergieren. Als Fläche der Kurve
wurde alsdann der Grenzwert der Fläche des Linienzuges definiert.
Statt jenes Linienzuges lassen sich nun aber mancherlei
andere ersinnen, die ebenfalls nach der Kurve konvergieren.
Z. B. können wir das Intervall von x 0 bis X wieder willkürlich
in n Teile teilen, die zu
gehörigen Kurvenpunkte be
stimmen und alsdann je zwei
aufeinanderfolgende von diesen
Punkten durch die Sehne ver
binden, so daß ein Sehnen- ,
polygon CM L 31 2 . . . M n _J) jlTti
hervorgeht, siehe Fig. 25. Es
weicht von der Kurve um so
weniger ab, je kleiner alle Einzelintervalle werden, wobei die
Zahl n immer größer wird. Es lassen sich aber auch manche
andere, ebenso nach der Kurve konvergierende lückenlose Züge
herstellen; sie brauchen auch nicht aus lauter geraden Stücken
zusammengesetzt zu sein.
Allgemein möge irgend ein lückenloser Linienzug nach
einem gewissen Gesetze derartig konstruiert sein, daß er noch
einem Grenzübergange unterworfen werden kann, bei dem er
im Intervalle von x 0 bis X nach der Kurve y = f(x) konvergiert.
D. h. analytisch ausgesprochen: Es möge cp(x) eine solche
stetige Funktion im Intervalle von x 0 bis X bedeuten, die noch
andere und andere Formen aunehmen kann und zwar so, daß,
wie klein auch eine positive Zahl x gewählt sein mag, stets
eine Funktion cp (x) existiert, für die
3 X
PJS
Fig. 25.
[530, 531