Full text: Integralrechnung (2. Band)

§ 1. Quadratur ebener Kurven, 
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zwischen einer Kurve und Seime, also die eines Kwrven- 
segmentes hervor. 
531. Ersatz der Plächengrenze durch eine ange 
näherte Grenze. In Nr. 409 wurde die von x Q bis X er 
streckte Fläche der Kurve y = fix) in der Weise definiert, 
daß die Kurve zunächst durch einen noch in gewissem Maße 
willkürlichen treppenförmigen Linienzug ersetzt wurde, so daß 
eine nur geradlinig begrenzte Fläche vorlag. Der treppen 
förmige Zug hatte dabei die Eigenschaft, beim Übergänge zu 
lim n = oo nach der wahren Begrenzung hinzustreben oder, wie 
wir auch sagen, nach ihr zu konvergieren. Als Fläche der Kurve 
wurde alsdann der Grenzwert der Fläche des Linienzuges definiert. 
Statt jenes Linienzuges lassen sich nun aber mancherlei 
andere ersinnen, die ebenfalls nach der Kurve konvergieren. 
Z. B. können wir das Intervall von x 0 bis X wieder willkürlich 
in n Teile teilen, die zu 
gehörigen Kurvenpunkte be 
stimmen und alsdann je zwei 
aufeinanderfolgende von diesen 
Punkten durch die Sehne ver 
binden, so daß ein Sehnen- , 
polygon CM L 31 2 . . . M n _J) jlTti 
hervorgeht, siehe Fig. 25. Es 
weicht von der Kurve um so 
weniger ab, je kleiner alle Einzelintervalle werden, wobei die 
Zahl n immer größer wird. Es lassen sich aber auch manche 
andere, ebenso nach der Kurve konvergierende lückenlose Züge 
herstellen; sie brauchen auch nicht aus lauter geraden Stücken 
zusammengesetzt zu sein. 
Allgemein möge irgend ein lückenloser Linienzug nach 
einem gewissen Gesetze derartig konstruiert sein, daß er noch 
einem Grenzübergange unterworfen werden kann, bei dem er 
im Intervalle von x 0 bis X nach der Kurve y = f(x) konvergiert. 
D. h. analytisch ausgesprochen: Es möge cp(x) eine solche 
stetige Funktion im Intervalle von x 0 bis X bedeuten, die noch 
andere und andere Formen aunehmen kann und zwar so, daß, 
wie klein auch eine positive Zahl x gewählt sein mag, stets 
eine Funktion cp (x) existiert, für die 
3 X 
PJS 
Fig. 25. 
[530, 531
	        
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