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§ 1. Quadratur ebener Kurven. 
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und den zu n 0 und gehörigen Radienvektoren geben wir 
denjenigen Umlaufsinn, der bervorgebt, wenn AB so durch 
laufen wird, daß ca die Werte von gj 0 bis GJ t annimmt. In 
Fig. 26, wo n 0 < (Dj gewählt ist, bat die Fläche u also positiven 
Sinn und demnach das Pluszeichen. Es kann 
aber auch oo 0 > sein. Wir setzen noch 
voraus, daß q = /'(co) im Intervalle von w 0 
bis cjj überall positiv bleibe, also nie durch 
den Wert Null hindurchgehe, d. h. daß 
die Kurve den Pol der Polarkoordinaten nicht 
enthalte. Denn dieser Pol spielt ja eine 
singuläre Rolle, wie in Nr. 203 hervorgehoben 
wurde. 
Um nun die Fläche w zu berechnen, K 26 
teilen wir <C AOB in etwa n beliebige 
Teile, indem wir n — 1 Radienvektoren OM lt 031 2 , . . . OM n _ 1 
einschalten. Die Kreise um 0 durch A bzw. M x , M 2 , . . . M n _ x 
mögen die Radienvektoren OM x bzw. OM 2 , OM z , ... OB 
in N x bzw. jV 2 , iVg, . . . N n treffen. Jetzt können wir die Kurve 
nach Satz 1 durch den aus Kreisbogen und Strecken bestehenden 
Linienzug 
ersetzen, da er zur Kurve konvergiert, falls alle Teilwinkel 
von ^AOB nach Null streben und dementsprechend ihre An 
zahl n über jede Zahl wächst. 
Ist An der allgemeine Ausdruck für einen beliebigen 
unter den n Teilwinkeln und q der Radiusvektor auf dem 
Anfangsschenkel dieses Winkels, so hat die zugehörige Fläche 
des Kreissektors den Wert |p 2 z/co, so daß 
u = lim ^|-p 2 An = \ lim f 2 (n) An 
ÜJ 0 fVo 
ist Die letzte Summe hat dieselbe Form wie die des Satzes 4, 
Nr. 407, indem x, x 0 , X und f(x) durch n, n 0 , n x und f 2 (n) 
ersetzt sind. Daher kommt beim Grenzübergange nach Nr. 410: 
ü) 0 Wo 
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