Bleibt die obere Grenze co x willkürlich, bezeichnen wir sie 
also mit cd, so ist u eine solche Funktion von cd, für die 
du 
dco 
ist. Hiermit wird nachträglich der vollständige Beweis für 
die Formel (1) von Nr. 204 geliefert. Damals fehlte ja noch 
die exakte Definition der Fläche. 
533. Quadratur bei Anwendung einer Hilfs 
veränderlichen. Es sei eine krummlinige Flächengrenze AB 
mittels einer Hi] fs veränderlichen t durch die beiden im Inter 
valle von t 0 bis t t stetigen Funktionen von t gegeben: 
(1) x = <p(t), y = 
vgl. (3) in Nr. 168. Dann soll die Fläche u berechnet werden, 
die zwischen dieser krummen Linie und den vom Anfangs 
punkte 0 nach ihren Endpunkten A und B gezogenen Strahlen 
liegt. In Polarkoordinaten cd, q hat diese Fläche nach der 
Formel (1) der letzten Nummer den Wert: 
i (q- 
2 da. 
Hierin ist p 2 = cp 2 -f- y> 2 und 
cd = are tg 
d. h. da, _ dl 
qp 1 -j- ip* * 
so daß sich ergibt: 
(2) u = j j*($></>'— ilnp')dt. 
o 
Der Umlaufsinn der Fläche ist dabei derjenige, bei dem die 
Kurve so durchwandert wird, daß t von t 0 bis t x geht. 
534. Beispiele von Quadraturen. Zu den in Nr. 411 
gegebenen Beispielen fügen wir hier und in den folgenden 
Nummern noch andere hinzu. 
1. Beispiel: Parabolische und hyperbolische Kurven nennt 
man diejenigen Kurven, deren Gleichungen bei passender Wahl 
des Achsenkreuzes die allgemeine Form 
532, 533, 534]