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Kap. Y. Quadratur und Rektifikation von Kurven. 
so können wir x 0 = y n = 0 wählen und erhalten dann 
u = xy : (r -f- 1), d. h. die Fläche ist der (r -{- l) te Teil der 
Fläche des Rechtecks mit den Seiten x und y. Liegt dagegen 
eine hyperbolische Kurve vor, ist also r < — 1, siehe Fig. 28, 
so können wir den Grenzübergang lim x 0 = + co machen, da 
dann lim;r 0 # o =0 wird, so daß u = xy : (r -f- 1) hervorgeht. 
Hier ist u negativ, weil die untere Grenze größer als die obere 
ist. Die Fläche u zwischen der Kurve, der Abszissenachse und 
der zu x gehörigen Ordinate ist also, obgleich sie sich ins 
Unendliche erstreckt, der — (r + l) te Teil der Fläche des Recht 
ecks mit den Seiten x und y. In der Fig. 28, wo r = — 2 
gewählt ist, sind beide Flächen gleich groß. 
Ist überhaupt bei einer Kurve die Fläche u von einer 
Anfangsabszisse x 0 bis zur Abszisse x gegeben durch die 
Formel 
(3) 
u — 
xy ~ *oVo 
r + 1 ’ 
so folgt durch Differentiation nach x, weil u = y sein muß: 
xy + y 
r + 1 
oder 
d \ny 
dx 
r 
x ’ 
d. h. ln y = r ln x -f- konst. oder y = konst. x r ; es liegt also 
eine parabolische oder hyperbolische Kurve (2) vor. 
2. Beispiel: Die Lcmniskate ist der Ort derjenigen Punkte 
in der Ebene, deren Entfernungen von zwei festen Punkten F x 
und F% das konstante Produkt ar haben, wobei 2a den Ab 
stand der beiden festen Punkte 
voneinander bedeutet. Im 2. Bei 
spiele, Nr. 55, wurde die Glei 
chung der Kurve in rechtwink- 
2g ligen Koordinaten angegeben. 
wobei die Gerade der Punkte F{ 
und F 2 als Abszissenachse und die Mitte von F t F 2 als Anfangs 
punkt gewählt wurde. In den zugehörigen Polarkoordinaten <a, p 
lautet die Gleichung der Lemniskate so: 
p 2 = 2a 3 cos 2a. 
Der Anfangspunkt ist ein Doppelpunkt, nach Nr. 189, und die 
zugehörigen Tangenten sind die Geraden x + y = 0. Die Kurve 
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