§ 2. Näherungsweise und mechanische Quadratur. 
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nicht auf die absoluten Werte der Gewichte, sondern nur auf 
ihr Verhältnis an. Da F selbst unbekannt ist, bleibt aller 
dings auch der wahre Wert dieses Verhältnisses unbekannt; 
aber wenn wir darüber vernünftige Annahmen machen, indem 
wir cc oder ß größer wählen, je nachdem F anscheinend näher 
bei Gr oder bei K liegt, werden wir die Formel zur Herstellung 
eines besser geeigneten Näherungswertes fürF 1 benutzen können. 
Unter G verstehen wir die in voriger Nummer unter (2) ge 
wonnene obere Grenze von F und unter K eine der drei 
ebenda abgeleiteten unteren Grenzen von F. 
Da die Werte von cc und ß, die wir annehmen, nur 
schätzungsweise ausgewählt werden, also nicht notwendig die 
wahren sind, müssen wir, um die Güte der zu gewinnenden 
Formel festzustellen, noch den größten Wert bestimmen, den 
der absolute Betrag s des Fehlers erreichen kann. Weil der 
wahre Wert zwischen G und K liegt, ist dies Maximum die 
größere der beiden Zahlen 
p aG-j-ß/l uG -\- ßK 
ä+j~’ ~äTß~~ 
oder 
^(G-Ä), -JE), 
also die erste oder zweite, je nachdem ß > cc oder cc > ß ist. 
Im Falle cc = ß, d. h. wenn als Näherungswert das arithmetische 
Mittel von G und K genommen wird, sind beide Extreme natür 
lich gleich groß. 
Insbesondere sind folgende Annahmen bemerkenswert: 
Erstens: G und K t haben gleiche Gewichte. Dann er 
gibt sich der Näherungswert: 
(i) = i(G + ^i) = + ?) + + y-2n)> 
und der absolute Betrag des Fehlers ist: 
(!') «i <b(p-q- $y 0 - ¥&«)• 
Die Formel (1) ist nichts anderes als die Trapezformel, da ihre 
rechte Seite gleich K 3 ist. K z ist demnach das arithmetische 
Mittel von Gr und K 1 . 
Zweitens: G und K 2 haben gleiche Gewichte. Es er 
gibt sich dann die Ponceletsche Näherungsformel: 
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