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Kap. Y. Quadratur und Rektifikation von Kurven. 
um so weniger von dem waliren Werte (3) der Fläche ab- 
weicht, je kleiner die Streifenbreite b gewählt wird, d. b. daß 
die Differenz 0 — F in möglichst hoher Ordnung mit b ver 
schwindet. Es ist: 
0 — 6 {(a + ß + y)f(x„) + b(ß + 2y)f’(xo) 
+ b-\}ß f"{x 0 + #6) + 2 y/T(x 0 + 2 nm). 
folglich nach (3): 
(5) „ (« + ß + y - 2)f(x 0 ) + b(ß + 2? - 2)/> 0 ) 
+ mßf'^o + »*) + -vfX x o +2 r,b)~ (*. + 296)]. 
Also verschwindet 0— F mit b in mindestens dritter Ordnung, 
wenn cc -j- ß -f y und ß -f- 2y gleich 2 sind. Da ferner f"(x Q -\- ffb), 
f"(x 0 -\-2r]b) und f'(x 0 -{-26b) für limb = 0 den Grenzwert 
f'(x 0 ) haben, verschwindet 0 — F mit b in mindestens vierter 
Ordnung, wenn überdies jß -f 2y gleich ist. Aus diesen 
drei Forderungen folgt a = -§-, ß = f und y — d. h. der 
Wert (4) von 0 geht gerade in den Wert (2) über. 
Die Simpsonsche Regel für die Summe der Flächen je 
zweier aufeinanderfolgender Streifen gibt also gerade denjenigen 
Näherungswert, dessen Abweichung von dem wahren Werte mit 
der Streifenbreite in der höchsten, nämlich der vierten Ordnung 
verschwindet. Wir werden in nächster Nummer sehen, daß 
sie sogar in der fünften Ordnung verschwindet. 
Wenn insbesondere der zweite Differentialquotient von f(x) 
konstant, also f(x) eine ganze quadratische Funktion von x 
ist, folgt aus (5), daß bei Annahme der für cc, ß, y gefundenen 
Werte auch für endliches b die Differenz F—0 = 0 ist, 
d. h. die Simpsonsche Regel ist insbesondere für die Fläche 
einer Parabel 
(6) y = konst. -f- konst. x -f- konst. x 2 
völlig exakt. Hiermit kommen wir zur Erwähnung der dritten 
und gebräuchlichsten Art der Ableitung der Simpsonschen 
Regel. Sie besteht darin, daß man die Kurve für je zwei auf 
einanderfolgende Streifen durch eine Parabel ersetzt, deren 
Achse der y-Achse parallel läuft. Man kann nämlich die Kon 
stanten in (6) so wählen, daß die Parabel durch drei vor 
geschriebene Punkte geht. 
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